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- 2021-04-18 发布
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
数学试卷（理工类） 2017.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知实数满足条件则的最大值为
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
3.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
4. 已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：
①数列中的最大项为 ②数列的公差
③ ④
其中正确的序号是（ ）
A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
6. 如图，在直角梯形中，，,是的中点,,则
A. B. C. D.
（
7. 袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号.
甲说：“我无法确定.”
乙说：“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.”
根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中
A．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球
8. 已知函数与函数在区间都为减函数，设，且，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 执行如下图所示的程序框图，则输出的值为 .
开始
i=1，S=2
结束
i=i+1
S>14?
输出i
是
否
S=S+2i
（第9题图）
10. 已知，且，则的最小值是 .
11. 已知函数若的图象与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围为 .
12. 已知函数同时满足以下条件：
① 定义域为；
② 值域为；
③ .
试写出一个函数解析式 .
13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S. 若罐头盒的底面半径为，则罐头盒的体积与的函数关系式为 ；当 时，罐头盒的体积最大.
14. 将集合表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合的5个三元子集 . （只写出一组）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
已知数列的前项和为( )，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.
16. (本小题满分13分)
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.
17. (本小题满分13分)
在中，，.
（Ⅰ）试求的值；
（Ⅱ）若，试求的面积.
18. (本小题满分14分)
已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，其中为函数的导函数.判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
19. (本小题满分14分)
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.
20. (本小题满分13分)
数列是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：
①；②当时，().
记这样的数列个数为.
（I）写出的值；
（II）证明不能被4整除.
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
数学答案（理工类）2017.11
一、 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
A
B
D
D
C
二、 填空题：
9. 5 10. 3 11.
12. 或或（答案不唯一）
13. ；
14. 24;, ,,,（答案不唯一）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
解：（Ⅰ）当时，.
当时，,
，即
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
故, . ┈┈ 8分
（Ⅱ）由已知得.
因为，
所以是首项为0，公差为的等差数列.
故的前项和. ┈┈ 13分
16. (本小题满分13分)
解：因为，
所以
.
（Ⅰ）函数的最小正周期为. ┈┈ 8分
（Ⅱ）因为，所以.
所以.
所以. ┈┈ 13分
17. (本小题满分13分)
解：（Ⅰ）因为，，所以.
所以.
所以.
所以.
所以.
所以. ┈┈ 7分
（Ⅱ）因为，，，由余弦定理得
.
所以，.
所以△的面积. ┈┈ 13分
18. (本小题满分14分)
解：（Ⅰ）函数的定义域为..
① 当时，令，解得：或，为减函数；
令，解得：，为增函数.
② 当时，恒成立，函数为减函数；
③ 当时，令，解得：或，函数为减函数；
令，解得：，函数为增函数.
综上，
当时，的单调递减区间为；单调递增区间为；
当时， 的单调递减区间为 ；
当时，的单调递减区间为；单调递增区间为.
┈┈ 8分
（Ⅱ）在定义域内不为单调函数，以下说明：
.
记，则函数为开口向上的二次函数.
方程的判别式 恒成立.
所以，有正有负. 从而有正有负.
故在定义域内不为单调函数. ┈┈ 14分
19. (本小题满分14分)
解：函数的定义域为，
（Ⅰ），又，
曲线在处的切线方程为
.
即. ┈┈ 4分
（Ⅱ）“要证明”等价于“”.
设函数.
令，解得.
因此，函数的最小值为.故.
即. ┈┈ 9分
（Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：
由（Ⅱ）可知，所以.
设，则.
令得；令得.
所以在上为增函数，上为减函数.
所以当时，恒成立,当且仅当时，.
又因为， 所以恒成立.
故曲线位于轴下方. ┈┈ 14分
20. (本小题满分13分)
（Ⅰ）解：. ┈┈ 3分
（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为项的首项最小数列.
对于个数的首项最小数列，由于，故或3.
（1）若，则构成项的首项最小数列，其个数为；
（2）若，则必有，故构成项的首项最小数列，其个数为；
（3）若则或. 设是这数列中第一个出现的偶数，则前项应该是，是或，即与是相邻整数.
由条件②，这数列在后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在之后，故后的各项都小于它.
这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.
综上，有递推关系：，.
由此递推关系和（I）可得，各数被4除的余数依次为：
1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…
它们构成14为周期的数列，又，
所以被4除的余数与被4除的余数相同，都是1，
故不能被4整除. ┈┈ 13分