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- 2021-04-18 发布
2019届一轮复习苏教版 旋转变换 投影变换 切变变换 学案
1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.
2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.
[基础·初探]
1.旋转变换
(1)旋转变换的定义：将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换，其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角.
(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O且逆时针旋转θ角时，旋转变换的矩阵为，像这样的矩阵称为旋转变换矩阵.
(3)旋转变换的特点：
①旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.
②旋转中心在旋转过程中保持不变.
③图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.
④绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换.
2.投影变换
(1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换.
(2)投影变换矩阵：像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.
(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射.
3.切变变换
(1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.
(2)切变变换矩阵
一般地，在平面直角坐标系xOy内，将任一点P(x，y)沿着x轴(或y
轴)方向平移|ky|(或 |kx|)个单位变成点P′(x′，y′)，(其中k是非零常数)，对应的变换矩阵或(k∈R，k≠0)，称为切变变换矩阵.
(3)切变变换的矩阵表示及其几何意义
①矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点P(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位：当ky＞0时，沿x轴正方向移动；当ky＜0时，沿x轴负方向移动；当ky＝0时，位置不变.在此变换作用下，x轴上的点为不动点.
②矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点P(x，y)沿y轴方向平移|kx|个单位：当kx＞0时，沿y轴正方向移动；当kx＜0时，沿y轴负方向移动；当kx＝0时，位置不变.在此变换作用下，y轴上的点为不动点.
[思考·探究]
1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？
【提示】 旋转变换所对应的矩阵表示为 ，这里θ为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当θ＞0时，旋转的方向是逆时针；当θ＜0时，旋转的方向则是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.
2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？
【提示】 (1)恒等变换，关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.
(2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形.
(3)投影变换把正方形区域变成了线段.
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
旋转变换及其应用
已知曲线xy＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后会得到什么曲线？曲线方程是什么？
【精彩点拨】 根据题设条件找到旋转角θ，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型.
【自主解答】 将曲线xy＝1绕坐标原点顺时针旋转90°，相当于逆时针旋转270°，
故旋转变换矩阵为
M＝＝，
设P(x0，y0)为曲线xy＝1上任意一点，在矩阵M作用下对应点为P′(x0′，y0′)则＝＝，
所以
故x0′y0′＝－x0y0＝－1.
因此曲线xy＝1在矩阵M的作用下变成曲线
xy＝－1，如图所示.
求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程.
若将本例中“旋转90°”变成“旋转45°”情况如何？
【解】 由题意得旋转变换矩阵为
M＝＝.
在曲线xy＝1上任取一点P(x，y)，设其在此旋转变换作用下得到点P′(x′，y
′)，则
＝，即
所以
将其代入xy＝1中得：·＝1.
即－＝1，
因此曲线xy＝1，在矩阵的作用下变成曲线－＝1.
投影变换及其应用
设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点沿平行于直线y＝x的方向投影到x轴上.试求：
(1)点A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点A′的坐标；
(2)这个投影变换对应的变换矩阵.
【导学号：30650016】
【精彩点拨】 根据题设条件画出图形，数形结合求解.
【自主解答】 (1)如图所示，点A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点A′的坐标为(1，0).
(2)设点(x，y)是平面直角坐标系xOy内的任意一点，则它在这个投影变换作用下得到的点为(x－y，0)，即→，
从而可知所求的变换矩阵为.
1.矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到x轴上，即(x，y)―→(x，0)；矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于x轴方向投影到直线y＝x上，即(x，y)―→(x，x)；矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到y轴上，即(x，y)―→(0，y).
2.求解该类问题常用数形结合思想求解.
(1)矩阵，，，对应的变换的几何意义是什么？
(2)矩阵，对应的变换的几何意义是什么？
【解】 (1)对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到x轴上.
对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线x＋y＝0的方向投影到x轴上.
对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到直线y＝x上.
对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于y轴的方向投影到y轴上.
(2)对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线x＋y＝0的方向投影到直线x＋y＝0上.
对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y＝x上.
切变变换及其应用
如图222所示，已知矩形ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD在变换过程中的不变线段.
【导学号：30650017】
图222
【精彩点拨】 由于本变换对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况，从而得解.
【自主解答】 因为矩阵对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况即可，而
＝，＝，
＝，＝.
从而矩形ABCD在矩阵作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.这里A′(－2，－1)、B′(4，1)、C′(1，1)、D′(－5，－1)，即原图形上任意一点(x，y)沿x轴方向平移|3y|个单位，而纵坐标不变.如图所示，线段EF为该切变变换下的不变线段.
矩阵(k∈R，k≠0)确定的变换为沿x轴方向平移|ky|个单位的切变变换；而(k∈R，k≠0).确定的变换为沿y轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要将二者混淆.
如图223(1)、(2)所示，已知正方形ABCD在变换T作用下变成平行四边形A′B′C′D′，试求变换T对应的矩阵M.
图223
【解】 由图知，A(0，0)变换为A′(0，0)，B(1，0)变换为B′(1，1)，C(1，1)变换为C′(1，2)，D(0，1)变换为D′(0，1)，从而可知变换T是沿y轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y轴上的点为不动点，故可得M＝.
[真题链接赏析]
(教材第34页习题2.2第8题)已知曲线xy＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？
已知椭圆Γ：x2＋＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图.
【命题意图】 本题主要考查旋转变换，同时考查了函数方程思想及运算求解能力.
【解】 设椭圆与坐标轴的交点分别为A(－1，0)，B，C(1，0)，D(如图).
因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为
M＝＝.
这样＝，
＝，
＝，
＝.
点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A′(0，－1)、B′、C′(0，1)、D′，从而椭圆曲线Γ：x2＋＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ′：＋y2＝1.
1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转的旋转变换的变换矩阵为________.
【导学号：30650018】
【解析】 矩阵为
＝.
【答案】
2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，矩阵对应的投影变换把椭圆变成________.
【解析】 设椭圆上任意一点P(x，y)在投影变换下对应点P′(x′，y′)，
则＝＝，
∴椭圆＋＝1中，－b≤y≤b，
∴投影后的曲线方程为x＝0(－b≤y≤b)，为一条线段.
【答案】 线段
3.直线y＝3x在矩阵对应的变换作用下所得的几何图形的方程为________.
【解析】 设直线y＝3x上任意一点为P(x，y)，在线性变换下的像为P′(x′，y′)，
则＝＝，
即
∴代入y＝3x，得x′＝3y′，即y′＝x′，
∴变换后的图形为直线y＝x.
【答案】 y＝x
4.在矩阵对应的变换作用下，点(2，1)将会变为________，这是一种________变换.
【导学号：30650019】
【解析】 由＝可知点(2，1)在矩阵对应的变换作用下，变为点(4，1)，从而可知该变换为切变变换.
【答案】 点(4，1) 切变
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)