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- 2021-04-18 发布
大庆铁人中学 2018 届高三十月阶段考试 数学试卷(文科)
出题人：鲁作益 审题人：李刚 2017.10
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.)
1.已知全集 ，集合 或 }， ，则
（ ）
A. B. C 或
D．
2.在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.已知命题 ,使 ；命题 ,都有
.
给出下列结论：其中正确的是（ ）
①命题“ ”是真命题；②命题“ ”是假命题；
③命题“ ”是真命题；④命题“ ”是假命题.
A.① ② ③ B.③ ④ C.② ④ D.② ③
4.若两个非零向量 , 满足 ,则向量 与 的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.设函数 ，则满足 的 取值范围是（ ）
A． B．[0，2] C． D．
6．设函数 ，则函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
7．已知 ，则函数 的零点的个数为（ ）
U R= { | 2A x x= < − 4x > { | 3 3}B x x= − ≤ ≤ ( )UC A B =
{ | 3 4}x x− ≤ ≤ { | 2 3}x x− ≤ ≤ { | 3 2x x− ≤ ≤ − 3 4}x≤ ≤
{ | 2 4}x x− ≤ ≤
a b ||2|||| ababa =−=+ a b+ b a−
6
π
3
π
3
2π
6
5π
2 2( ) cos ( ) sin ( ),4 4f x x x x R
π π= + − + ∈ ( )f x
π π
2
π
2
π
0 1a< < | | | log |x
ay a x= −
3
1
i
i
−
−
(2,1) (1, 2)− (1,2) (2, 1)−
:p x R∃ ∈
2
5sin =x )(4: Zkkq ∈+=+ ππβα
( )( )tan 1 tan 1 2α β+ + =
qp ∧ qp ¬∧
qp∨¬ qp ¬∨¬
>−
≤=
−
)1(log1
)1(2)(
2
1
xx
xxf
x
2)( ≤xf x
]2,1[− [ )+∞,1 [ )+∞,0
A．1 B．2 C．3 D.4
8. 已 知 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 在 上 是 增 函 数 设 ，
，
，则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
9.若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
10. （ 、 为 常 数 ）， 在 处 取 得 最 小 值 ， 则 函 数
是
A.偶函数且它的图象关于点 对称 B．偶函数且它的图象关于点 对称
C．奇函数且它的图象关于点 对称 D．奇函数且它的图象关于点 对称
11.若函数 的导函数 ，则使得函数 单调递减的一个充分不
必要条件是 ∈( )
12.已知函数 有且仅有两个不同的零点，则 的
最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
13．函数 的部分图象
如图所示，则该函数为____________
14．已知 ，若 与 共线，则
15．已知函数 且 ， 是 的导函数，则 ＝
_____
16．有下列命题：
①已知平面向量 ， , 的夹角为钝角，则 ；
xbxaxf cossin)( −= a b 4
π=x
)4
3( xfy −= π
)0,(π )0,2
3(
π
)0,2
3(
π
)0,(π
)(xf 34)(' 2 +−= xxxf )1( −xf
x
. (0,1)A . (3, 5)B . (2, 3)C . (2, 4)D
)(xf R ( ]0,∞− ( )7log4fa =
= 3log
2
1fb
( )6.02.0fc = cba ,,
abc << acb << cab << cba <<
xaxxxf ln2)( 2 ++= )1,0( a
0≥a 0≤a 4−≥a 4−≤a
3 2( ) 2 3 10 ( 0)f x mx nx m= − + > 2 2lg lgm n+
1
7
1
9
1
11
1
13
)2,0,0)(sin(
πφωφω <>>+= AxAy
)1,2(),2,1( −== ba bnam + ba 3− _____=
n
m
xxxf cossin)( −= )(2)( xfxf =′ )(xf′ )(xf xx
x
2sincos
sin1
2
2
−
+
)3,1(=a )3,( −= λb ba , 9<λ
②若函数 的图象和 的图象关于点 对称，则 ；
③若函数 在 上单调递增，则 ；
④若函数 ，则其周期为
⑤幂函数 (p∈Z)为偶函数，且 ，则实数 。
其中真命题的序号是 .
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤)
17.在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知
（I）求 的值；
（II）若 ，求 的面积 S。
18. 已 知 函 数 ( ) ， 其 图 象 过 点
.
求函数 在 上的单调递减区间；
若 ， ，求 的值.
19.设函数 曲线 在点 处的切线方程为
（1）求 的解析式
（2）证明 上任意一点处的切线与直线 和直线 所围三角形的面积为定
值，并求出此定值
20.已知 中， ，记 ．
（1）求 解析式并标出其定义域；
（2）设 ，若 的值域为 ，求实数 的值．
21.设函数
∆
sin
sin
C
A
2( ) ln , ( ) 3.f x x x g x x ax= = − + −
)(xf )4sin(
π+= xy )0,4(
π
M )4cos()(
π−−= xxf
( ) )1,0(log ≠>= aaxxf a
( )+∞,0 )1()2( +>− aff
1)602cos(2)( −°+= xxf π
2
3
2
1 2 ++−= pp
xy )4()1( ff < 1=p
b
ac
B
CA −=− 2
cos
cos2cos
2,4
1cos == bB ABC∆
( ) 21 1 3sin 2 sin cos cos sin2 2 2f x x x
πϕ ϕ ϕ = + + − 0 ϕ π< <
1,6 2
π
( )Ι ( )f x [ ]0,π
( )ΙΙ 0 ,2x
π π ∈ 0
3sin 5x = ( )0f x
)(1)( Zabbxaxxf ∈++= )(xfy = ))2(,2( f 3=y
)(xfy =
)(xfy = 1x = y x=
ABC∆ 21, ,3AC ABC BAC x
π= ∠ = ∠ = ( )f x AB BC= ⋅
( )f x
( ) 6 ( ) 1( 0)= +
OAB∆
3)3cos(:,2:,0: =−== πθρπθθ ABOBOA P OAB∆ C O
A B C
222 PBPAPO ++
( ) aaxxf +−= 2
( ) 6≤xf { }32 ≤≤− xx a
n ( ) ( )nfmnf −−≤ m
( ) )44sin(2
ππ += xxf 3
1−
7
19
17.解：（I）由正弦定理，设 则
所以 即 ，
化简可得 又 ，所以 因此
（II）由 得 由余弦定理
解得 a=1。因此 c=2
又 因 为 所 以 因 此
18
19
【来源：全,品…中&高*考+网】
20.解：（1）由正弦定理有： ； 【 来 源 ： 全 , 品 … 中 & 高 * 考 + 网 】∴ ，
,sin sin sin
a b c kA B C
= = = 2 2 sin sin 2sin sin ,sin sin
c a k C k A C A
b k B B
− − −= =
cos 2cos 2sin sin .cos sin
A C C A
B B
− −= (cos 2cos )sin (2sin sin )cosA C B C A B− = −
sin( ) 2sin( ).A B B C+ = + A B C π+ + = sin 2sinC A= sin 2.sin
C
A
=
sin 2sin
C
A
= 2 .c a=
2 2 2
2 2 2
12 cos cos , 2,4
14 4 .4
b a c ac B B b
a a
= + − = =
+ − ×
及
得4=a
1cos , .4B G B π= < <且 15sin .4B =
1 1 15 15sin 1 2 .2 2 4 4S ac B= = × × × =
1
2sin sin sin( )3 3
BC AB
x x
π π= =
−
1 sin2sin 3
BC xπ=
； 【 来 源 ： 全 , 品 … 中 & 高 * 考 + 网 】 ∴
（2）
，∴ 。
当 时， 的值域为 。
21
22. 解：（1）直线 OA：y=0．OB：x=0．直线 AB：
= ，
化为：x+ ﹣2 =0．∴A ，B（0，2）．
可得圆心 M ．，半径 r= =2．
∴外接圆的直角坐标方程为： +（y﹣1）2=4，参数方程为：
（θ 为参数）．
（2）设 P ．
|PO|2+|PA|2+|PB|2= +（1+2sinθ）2+ +（1+2sinθ）2+
+（2sinθ﹣1）2=24+8 ∈[16，32]．
∴其最大值和最小值分别为 32，16．
sin( )3
2sin 3
x
AB
π
π
−
= 4 1( ) sin sin( )3 3 2f x AB BC x x
π= = −
2 3 1( cos sin )sin3 2 2x x x= −
1 1sin(2 ) (0 )3 6 6 3x x
π π= + − < <
( ) 6 ( ) 1g x mf x= + = 2 sin(2 ) 1 (0 )6 3m x m x
π π+ − + < <
(0, )3x
π∈
5 12 sin(2 ) ( ,1]6 6 6 6 2x x
π π π π< + < + ∈，则
0m < ( ) 2 sin(2 ) 16g x m x m
π= + − + [ 1,1)m +