2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：4-4　解三角形（讲解部分） 26页

考点一    正弦定理与余弦定理 考点清单 考向基础 正弦定理 余弦定理 内容   =   =   =2 R ( R 为△ ABC 外接圆半径) a 2 = b 2 + c 2 -2 bc ·cos A b 2 = c 2 + a 2 -2 ca ·cos B c 2 = a 2 + b 2 -2 ab ·cos C 变形 形式 (1) a =2 R sin A , b =2 R sin B , c =2 R sin C ; (2)sin A =   ,sin B =   ,sin C =   ; (3) a ∶ b ∶ c = sin A ∶sin B ∶sin C ; (4)   =   =2 R cos A =   ; cos B =   ; cos C =   解决的 问题 (1)已知两角和任意一边,求第三 个角和其他两条边; (2)已知 两边和其中一边的对角 , 求第三边和其他两角 (1)已知三边,求各角; (2)已知 两边和它们的夹角 ,求第 三边和其他两个角 考向突破 考向一    利用正弦、余弦定理解三角形 例1     (2019湖南郴州一模,10)在△ ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 b 2 + c 2 -   bc = a 2 , bc =   a 2 ,则角 C 的大小是   (　　) A.   或   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解析 　由 b 2 + c 2 -   bc = a 2 ,得 b 2 + c 2 - a 2 =   bc ,则cos A =   =   =   ,又 A ∈(0,π),则 A =   . 由 bc =   a 2 ,得sin B sin C =   sin 2 A =   ×   =   , 即4sin(π- C - A )sin C =   , 即4sin( C + A )sin C =4sin   sin C =   , 即4   sin C =2   sin 2 C +2sin C cos C =   , 即   (1-cos 2 C )+sin 2 C =   -   cos 2 C +sin 2 C =   , 则-   cos 2 C +sin 2 C =0,则   cos 2 C =sin 2 C ,则tan 2 C =   , 即2 C =   或   ,即 C =   或   ,故选A. 答案     A 考向二    判断三角形的形状 例2     (2018四川绵阳模拟,17,12分)在△ ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对 边,且2 a sin A =(2 b + c )sin B +(2 c + b )·sin C . (1)求 A 的大小; (2)若sin B +sin C =1,试判断△ ABC 的形状. 解析 　(1)由已知,结合正弦定理, 得2 a 2 =(2 b + c ) b +(2 c + b ) c ,即 a 2 = b 2 + c 2 + bc . 又由余弦定理,得 a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A , 所以 bc =-2 bc cos A ,即cos A =-   . 由于 A 为三角形的内角,所以 A =   . (2)已知2 a sin A =(2 b + c )sin B +(2 c + b )sin C , 结合正弦定理, 得2sin 2 A =(2sin B +sin C )sin B +(2sin C +sin B )sin C , 即sin 2 A =sin 2 B +sin 2 C +sin B sin C =sin 2   =   . 又由sin B +sin C =1, 得sin 2 B +sin 2 C +2sin B sin C =1, 解得sin B =sin C =   , 因为0< B <π,0< C <π,0< B + C <π, 所以 B = C =   , 所以△ ABC 是等腰三角形. 考点二    解三角形及其综合应用 考向基础 1.有关概念 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线 上方 的角叫仰角,在水平线 下方 的角叫俯角(如图a).   (2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如 B 点的方位角为 α (如图b). (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c). a.北偏东 α ° :指北方向顺时针旋转 α ° 到达目标方向. b.东北方向:指北偏东45 ° 方向.          (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角 θ 为坡角). 坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度(或坡比)(如图d, i 为坡比). 2.三角形的面积公式 设△ ABC 的三边为 a , b , c ,三边所对的三个角分别为 A , B , C ,面积为 S . (1) S =   ah ( h 表示边 BC 上的高). (2) S =   ab sin C =   ac sin B =   bc sin A . (3) S =   =2 R 2 sin A sin B sin C ( R 为△ ABC 外接圆的半径). (4) S =   r ( a + b + c ) ( r 为△ ABC 内切圆 的半径). (5) S =     . 考向突破 考向一    解三角形在实际问题中的应用 例1 　如图所示,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN =60 ° , C 点的仰角∠ CAB =45 ° 以及∠ MAC =75 ° .从 C 点测得∠ MCA =60 ° .已知山高 BC =500 m,则山高 MN = 　　　     m.   解析　 在Rt△ ABC 中,∠ CBA =90 ° ,∠ CAB =45 ° , BC =500 m,所以 AC =500   m. 在△ AMC 中,∠ MAC =75 ° ,∠ MCA =60 ° ,从而∠ AMC =45 ° , 由正弦定理,得   =   , 因此 AM =500   ×   =500   m. 在Rt△ MNA 中,∠ MNA =90 ° , AM =500   m,∠ MAN =60 ° , 由   =sin 60 ° ,得 MN =500   ×   =750 m. 答案 　750 考向二    与三角形面积有关的问题 例2     (2019河南非凡教育四调,10)已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边 分别为 a , b , c ,若 b =1, c =   ,且2sin( B + C )·cos C =1-2cos A sin C ,则△ ABC 的面积 是   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   或   　　　　    D.   或   解析 　因为2sin( B + C )cos C =1-2cos A sin C ,且 A + B + C =π,所以2sin A cos C =1- 2cos A sin C ,所以2sin A cos C +2cos A sin C =1,所以2sin( A + C )=1,所以2sin B = 1,所以sin B =   . 因为 b < c ,所以 B < C ,所以角 B 为锐角, 所以cos B =   =   ,所以由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 -2 ac cos B ,可得1= a 2 +3-2 × a ×   ×   , 整理可得 a 2 -3 a +2=0,解得 a =1或 a =2. 故当 a =1时,△ ABC 的面积 S =   ac sin B =   × 1 ×   ×   =   ; 当 a =2时,△ ABC 的面积 S =   ac sin B =   × 2 ×   ×   =   .故选C. 答案     C 方法1      利用正弦、余弦定理解三角形 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . 1.已知两角 A 、 B 与一边 a ,由 A + B + C =π及   =   =   ,可先求出角 C ,再 求出 b 、 c . 2.已知两边 b 、 c 及其夹角 A ,由 a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A ,先求出 a ,再由正弦定理求 出角 B 、 C . 3.已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角 A 、 B 、 C . 4.已知两边 a 、 b 及其中一边 a 的对角 A ,由   =   可求出另一边 b 的对角 B ,由 C =π-( A + B )可求出 C ,再由   =   可求出 c ,而通过   =   求 B 时, 可能有一解、两解或无解的情况,其判断方法如下表: 方法技巧 A >   A =   A <   a > b 一解 一解 一解 a = b 无解 无解 一解 a < b 无解 无解 a > b sin A 两解 a = b sin A 一解 a < b sin A 无解 例1 　(1)(2019湖南四校调研联考,10)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且   +   =1,则 C =   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   (2)(2019安徽安庆二模,10)若△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已 知 b sin 2 A = a sin B ,且 c =2 b ,则   等于   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解题导引   解析 　(1)由正弦定理可得   +   =   +   =1,整理可得 a 2 + b 2 - c 2 = ab . ∴由余弦定理的推论可得cos C =   =   =   ,又由 C ∈(0,π),可得 C =   .故选B. (2)由正弦定理及 b sin 2 A = a sin B ,得2sin B sin A cos A =sin A sin B ,又sin A ≠ 0, sin B ≠ 0,则cos A =   .又 c =2 b ,所以由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A = b 2 +4 b 2 -4 b 2 ×   =3 b 2 ,得   =   .故选D. 答案　 (1)B　(2)D 方法2      利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 　　要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条 件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径: (1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过 因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数 间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状, 此时要注意应用“△ ABC 中, A + B + C =π”这个结论. 注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形 状的可能. 例2     (2019豫北名校1月联考,8)在△ ABC 中, a , b , c 分别表示三个内角 A , B , C 的对边,如果( a 2 + b 2 )sin( A - B )=( a 2 - b 2 )·sin( A + B ),则△ ABC 的形状为   (　　) A.等腰三角形　　　　    B.直角三角形 C.等腰直角三角形　　　　    D.等腰三角形或直角三角形 解题导引        解析　 解法一:已知等式可化为 a 2 [sin( A - B )-sin( A + B )]= b 2 [-sin( A + B )-sin( A - B )], ∴2 a 2 cos A sin B =2 b 2 cos B sin A . 由正弦定理,上式可化为sin 2 A cos A sin B =sin 2 B cos B sin A , ∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0. ∵ A , B 均为△ ABC 的内角,∴sin A ≠ 0,sin B ≠ 0, ∴sin 2 A -sin 2 B =0,即sin 2 A =sin 2 B . 由 A , B ∈(0,π)得0<2 A <2π,0<2 B <2π, ∴2 A =2 B 或2 A +2 B =π,即 A = B 或 A + B =   . ∴△ ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2 a 2 cos A sin B =2 b 2 cos B sin A . 由正、余弦定理,可得 a 2 ·   · b = b 2 ·   · a . ∴ a 2 ( b 2 + c 2 - a 2 )= b 2 ( a 2 + c 2 - b 2 ), 即( a 2 - b 2 )( a 2 + b 2 - c 2 )=0. ∴ a = b 或 a 2 + b 2 = c 2 , ∴△ ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D. 答案     D 方法3      与面积、范围有关的问题 1.与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形面积;二是给出三角 形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形面积公式 S =   ab sin C ,此公式 既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,由此可以与正弦定理、余 弦定理综合起来求解. 2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关 定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角 取值范围等求解即可. 例3     (2018河南信阳二模,17)已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边,且 满足( a + b + c )(sin B +sin C -sin A )= b sin C . (1)求角 A 的大小; (2)设 a =   , S 为△ ABC 的面积,求 S +   cos B cos C 的最大值. 解题导引     (1)   (2)   解析　 (1)∵( a + b + c )(sin B +sin C -sin A )= b sin C , ∴根据正弦定理,知( a + b + c )( b + c - a )= bc , 即 b 2 + c 2 - a 2 =- bc . ∴由余弦定理的推论,得cos A =   =-   . 又 A ∈(0,π),所以 A =   π. (2)根据 a =   , A =   π及正弦定理可得   =   =   =   =2,∴ b =2sin B , c =2sin C .∴ S =   bc sin A =   × 2sin B × 2sin C ×   =   sin B sin C . ∴ S +   cos B cos C =   sin B sin C +   cos B cos C =   cos( B - C ). 故当   即 B = C =   时, S +   cos B cos C 取得最大值   .