2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：1-4 习题课1 6页

习题课(1) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．sin405°的值为( C ) A．1 B．－ 2 2 C. 2 2 D．－1 2 解析：sin405°＝sin(360°＋45°)＝sin45°＝ 2 2 . 2．已知角θ的终边经过点 P(x,3)(x<0)且 cosθ＝ 10 10 x，则 x 等于 ( A ) A．－1 B．－1 3 C．－3 D．－2 3 3 解析：依题意有 cosθ＝ x x2＋32 ＝ 10 10 x，解得 x＝±1，因为 x<0， 所以 x＝－1，故选 A. 3．已知角α的终边经过点 P(－3，－4)，则 cos π 2 －α 的值为( C ) A.4 5 B.3 5 C．－4 5 D．－3 5 解析：角α的终边经过点 P(－3，－4)，由三角函数定义可得 sinα ＝ －4 －32＋－42 ＝－4 5 ，可得 cos π 2 －α ＝sinα＝－4 5 ，故选 C. 4．已知一个扇形弧长为 6，扇形圆心角为 2 rad，则扇形的面积 为( D ) A．2 B．3 C．6 D．9 解析：由题意知扇形所在圆的半径为6 2 ＝3，于是扇形的面积为 1 2 ×6×3＝9.故选 D. 5．若角α和β的终边关于 x 轴对称，则α＋β为( A ) A．2kπ，k∈Z B．2kπ＋π 2 ，k∈Z C．(2k＋1)π，k∈Z D．2kπ＋3 2π，k∈Z 解析：若α与β关于 x 轴对称，则α＝2kπ－β，k∈Z. 6．已知 sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sinθ＋cosθ sinθ－cosθ ＝( C ) A．3 B．－3 C.1 3 D．－1 3 解析：由 sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，可得 sinθ＝－2cosθ， ∴sinθ＋cosθ sinθ－cosθ ＝－2cosθ＋cosθ －2cosθ－cosθ ＝1 3. 7．设 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且在区间(0，＋∞) 上单调递增，若 f 1 2 ＝0，△ABC 的内角满足 f(cosA)<0，则 A 的取值 范围是( D ) A. π 3 ，π 2 B. π 3 ，π C. 0，π 3 ∪ 2π 3 ，π D. π 3 ，π 2 ∪ 2π 3 ，π 解析：由已知 f(x)在(0，＋∞)上单调递增且在(－∞，0)上单调递 增，又 f(cosA)<0，∴f(cosA)0， cos3<0，即α的终边在第一象限，∴cosα＝cos π 2 －3 ＝cos 3－π 2 . 又∵3－π 2 ∈ 0，π 2 ，∴α＝3－π 2. 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分．写出必 要的文字说明、计算过程或演算步骤) 12.如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置 为 P0( 2，－ 2)． (1)指出终边落在直线 OP0 上的角θ的集合； (2)当 P 第 1 次运动到位置 P1(0,2)时，求质点 P 所经过的长度(弧 长)l 和所扫过的扇形的面积 S. 解：(1)由题意可知，∠xOP0＝－π 4 ， 所以终边落在直线 OP0 上的角θ的集合为 {θ|θ＝－π 4 ＋2kπ，k∈Z}∪{θ|θ＝3π 4 ＋2kπ，k∈Z} ＝{θ|θ＝－π 4 ＋nπ，n∈Z}. (2)由题意得∠P0OP1＝3π 4 ， 所以由弧长公式可知质点 P 所经过的长度 l＝3π 4 ×2＝3π 2 . 扫过的扇形的面积 S＝1 2 ×2×3π 2 ＝3π 2 . 13．已知 1 |sinα| ＝－ 1 sinα ，且 lgcosα有意义． (1)试判断角α的终边所在的象限； (2)若角α的终边与单位圆相交于点 M 3 5 ，m ，求 m 的值及 sinα的 值． 解：(1)由 1 |sinα| ＝－ 1 sinα 可知 sinα<0， ∴α是第三或第四象限角或是 y 轴的非正半轴上的角． 由 lgcosα有意义可知 cosα>0， ∴α是第一或第四象限角或是 x 轴的非负半轴上的角． 综上可知，α是第四象限角． (2)∵点 M 3 5 ，m 在单位圆上， ∴ 3 5 2＋m2＝1，解得 m＝±4 5. 又α是第四象限角，故 m<0，从而 m＝－4 5. 根据正弦函数的定义，可知 sinα＝－4 5. 14．已知函数 f(x)＝sinx(1＋sinx)＋cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 －π 6 ，2π 3 上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝sinx＋sin2x＋cos2x＝sinx＋1， ∴f(x)的最小正周期为 2π. (2)f(x)在 －π 6 ，π 2 上为增函数，在 π 2 ，2π 3 上为减函数， 又 f －π 6