2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版） 14页

‎2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．下列不等式中错误的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】由不等式的对称性可知选项A正确，‎ 由不等式的传递性可知选项B正确，‎ 结合不等式的性质可知选项C正确，‎ 时，有，选项D错误.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2．等差数列的前n项和为，若，则（ ）‎ A. 8 B. 10 C. 14 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题选择D选项.‎ ‎3．命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】特殊命题的否定为全称命题，改量词，否结论，‎ 故命题“”的否定是.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4．若,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： ，选C.‎ ‎【考点】复数运算 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ‎.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎5．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与曲线的交点坐标为和，‎ 故直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．故选．‎ ‎6．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：‎ 甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了.”‎ 乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了.”‎ 丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了.”‎ 结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（ ）‎ A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁 ‎【答案】C ‎【解析】假设甲中奖，则根据题意，乙丙丁都中奖，此时四人都中奖，故甲不可能中奖；‎ 假设乙中奖，则根据题意丙丁都中奖，甲不一定中奖，此时至少三人中奖，故乙不可能中奖；‎ 假设丙中奖，则根据题意丁中奖，甲乙不可能中奖，此时至少有两人中奖，故只有可能是丙，丁均中奖 故选 ‎7．已知，数列的前n项和为，则的最小值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎，‎ 则随着的增大而增大，‎ 当时， 取最小值.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8．在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若角A,B,C成等差数列，边a,b,c 成等比数列，则的形状为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】 成等差数列， ，‎ 成等比数列， ，‎ 即，‎ 即为等边三角形.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.‎ ‎9．在平面直角坐标系中，若x,y满足不等式组，则的最大值是（ ）‎ A. 2 B. C. D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件画可行域如图，由可知，‎ 易知表示可行域内的点到原点的距离的平方，由可行域知，平面内点到的距离最大，所以最大值为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎10．“”是“函数的最小正周期为4”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由定积分的几何意义知是由曲线，直线围成的封闭图形的面积， ，‎ ‎，‎ 函数的最小正周期为4，‎ ‎，解得，‎ 故“ ”是“函数的最小正周期为4”的充分不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ ‎11．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点，四边形ABCD的面积的最大值为（ ）‎ A. 8 B. C. 4 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，与圆在第一象限内的交点为，‎ 则，消，解得，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 综上可得：四边形ABCD的面积的最大值为8.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎12．设直线l1，l2分别是函数图象上点P1，P2处的切线，l1‎ 与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B则则△PAB的面积的取值范围是 A. （0,1） B. （0,2） C. （0,+∞） D. （1,+ ∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即。分别令得又与的交点为，故选A。‎ ‎【考点】1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．设复数，则_________________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】解法一：由题意可得： .‎ 解法二： ‎ ‎14．观察下列式子： ，根据以上式子可猜想_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知， ‎ 归纳可得 .‎ 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎15．已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连接，若则的离心率______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由余弦定理可得 ‎．‎ ‎【考点】1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.‎ ‎【方法点晴】本题考查导数的椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由余弦定理可得 ‎.‎ ‎16．已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时， 不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需 ‎ ‎，和大前提m<0取交集结果为；又由于条件2的限制，可分析得出在恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比两个根中较小的来的大，当时， ，解得交集为空，舍。当m=-1时，两个根同为，舍。当时， ，解得，综上所述， 。‎ ‎【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想。‎ 三、解答题 ‎17．在数列中， ， ，求、、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】试题分析：‎ 由首项结合递推关系式计算可得，猜想，‎ 很明显， 时，命题成立；假设时命题成立，即，则当时， ，命题也成立，故猜想成立.‎ 试题解析：‎ ‎，‎ 猜想，‎ 证明：（1）时， 命题成立；‎ ‎（2）假设时命题成立，即，‎ 则当时， ，‎ 命题也成立，‎ 由（1）、（2）可知对都成立.‎ ‎18．已知a、b、c分别为△ABC的内角、、的对边，且角A不是△ABC的最大内角，且.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若△ABC的面积是3，求边长a的最小值．‎ ‎【答案】(1) ；(2)2.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）切化弦整理可得，则， .‎ ‎（2）由三角形面积公式可得，结合余弦定理有，等号当且仅当时成立，即边长a的最小值为2.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由可得，‎ 即，‎ 又∵ ∴，‎ 而不是的最大内角，∴A为锐角∴.‎ ‎（2）因为，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得，‎ 等号当且仅当时成立，‎ 故所求的边长a的最小值为2.‎ ‎19．如图，在三棱锥中， ， ， ，平面平面， 、分别为、中点．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)60°.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）连结PD，由题意可得,则AB⊥平面PDE， ；‎ ‎（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；‎ 法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量为．据此计算可得二面角的大小为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）连结PD，PA=PB，PDAB． ，BCAB，DEAB．‎ 又 ，AB平面PDE，PEÌ平面PDE，‎ ‎∴ABPE．‎ ‎（2）法一：‎ 平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．‎ 则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,‎ 过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角，‎ 则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为 法二：‎ 平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．‎ 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0， ，0)，‎ ‎=(1，0， )， =(0， ， ）．‎ 设平面PBE的法向量，‎ 令，得．‎ DE平面PAB， 平面PAB的法向量为．‎ 设二面角的大小为，由图知， ，‎ 所以即二面角的大小为.‎ ‎20．设是等差数列， 是均为正的等比数列，且， ， ‎ ‎（Ⅰ）求， 的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设的公差为d， 的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得、的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和 试题解析：（Ⅰ）设的公差为， 的公比为，则依题意有 且解得， ． 3分 所以， ． 5分 ‎（Ⅱ）．‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎②－①得，‎ ‎ ．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和 ‎21．已知椭圆的左，右焦点分别为F1， F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M.‎ ‎(1)求点M的轨迹的方程；‎ ‎（2）设与x轴交于点Q， 上不同于点Q的两点R、S，且满足，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意结合抛物线的定义可知动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，轨迹方程为.‎ ‎（2）由题意可得，设，由向量垂直的充要条件可得，则，由距离公式可得，结合二次函数的性质可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，‎ 所以动点M到定直线的距离等于它到定点的距离，‎ 所以动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，‎ 所以M的轨迹的方程为.‎ ‎（2），设，则，‎ 因为，所以，因为，‎ ‎，解得，‎ 故，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎，‎ 又因为，所以当，即时，取最小值，‎ 故的取值范围是.‎ ‎22．已知函数 ．‎ ‎（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，且对任意, 恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，求证： ．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，‎ 当时，函数有一个极值点．‎ ‎（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；‎ ‎（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 当时， 在上恒成立，‎ 函数在单调递减，∴在上没有极值点；‎ 当时， 得， 得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，‎ 当时，在上有一个极值点．‎ ‎（2）∵函数在处取得极值，∴，‎ ‎∴，‎ 令， ，‎ 可得在上递减，在上递增，‎ ‎∴，即．‎ ‎（3）证明：，‎ 令，则只要证明在上单调递增，‎ 又∵，‎ 显然函数在上单调递增．‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在上单调递增，即，‎ ‎∴当时，有．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)‎ 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎