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- 2021-04-18 发布
课时分层训练(五十一) 抛物线
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0,2) B.(0,1)
C．(2,0) D.(1,0)
D [由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
2．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )
A．(0,2) B.(0，－3)
C．(0,3) D.(0,6)
C [直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
B [由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
又y2＝4x的焦点F(1,0)，
∴焦点F到直线的距离d＝＝.]
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
C [由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．
则＝，＝.
由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，
因而y0＝4，M.
由|MF|＝5，得＝5，
又p>0，解得p＝2或p＝8.
故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
【导学号：01772325】
A．2 B.2
C．2 D.4
C [如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，
代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，
所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.]
二、填空题
6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________.
【导学号：01772326】
8 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB
的方程是y＝x－1.
联立消去y得x2－6x＋1＝0.
所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．如图871，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝__________.
图871
＋1 [由题意可得C，F，
则＝＋1(舍去1－)．]
8．(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
2 [y2＝2px的准线为x＝－.
由于△ABF为等边三角形．
因此不妨设A，B.
又点A，B在双曲线y2－x2＝1，
从而－＝1，所以p＝2.]
三、解答题
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
[解] (1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，
得y2－2pmy＋4p＝0.2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，
则x1x2＝＝4，
因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x.5分
(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.7分
设AB的中点为M，
则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①
又|AB|＝|y1－y2|＝.②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，10分
解得m2＝3，m＝±，
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.12分
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10或t<－3 [因为直线l与圆相切，所以＝1⇒k2＝t2＋2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，
于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，
解得t>0或t<－3.]
3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
【导学号：01772328】
[解] (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0. 2分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因为＝2 ，所以y1＝－2y2.
联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.
所以直线AB的斜率是±2. 5分
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.8分
因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝＝4，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分