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- 2021-04-18 发布
玉山一中2018 —2019学年度第二学期高二期中考试
理科数学试卷（10—19班）
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的共轭复数为（ ）
A . B. C. D.
3． 方程表示的曲线不可能是（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
4．已知，则的值是（ ）
A． B C． D．
5．若函数的导函数的图像关于原点对称，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．极坐标方程为表示的曲线是（ ）
A．双曲线 B．圆 C．两条相交直线 D．两条射线
9． 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．有编号依次为1,2,3,4,5,6的6
名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的某一个；丁猜2号，3号，4号都不可能.若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限，，垂足为，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括填空题和解答题两个部分. 第13-16题为填空题，第17-22题为解答题.
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若椭圆两焦点的极坐标分别为，长半轴长为2，则此椭圆的直角坐标方程为 .
14．已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，再反向延长交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为 .
15．一个棱长为8的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则
该正四面体的棱长的最大值是 ．
16．设命题：实数满足不等式；命题：函数无极值点．又
已知“”为真命题，记为.命题：，若是的必要不充分
条件，则正整数的值为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共70分）
17．（本小题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线E的极坐标方程为.
（1）分别求曲线C和E的直角坐标方程；
（2）求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.
18．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，求直线的方程.
19．（本小题满分12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形， CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC=，．
（1）求证：AB平面ADE；
（2）求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试.为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格.小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为.假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立.
（1）求小华同学两项测试均合格的概率；
（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
21．（本小题满分12分）已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，求的面积的最大值.
22．（本小题满分12分）
已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若不等式在区间内有解，求实数的取值范围.
高二理科数学10-19班参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1—5题：ABBCA 6—10题：ABCDD 11—12题：BC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 14. 15. 16.
三、解答题
17（1）由题意，曲线C的直角坐标方程为：
； （3分）
曲线E的直角坐标方程为：. （6分）
（2）由题意得：得. 即所求直线的直角坐标方程为 （10分）
18（1）由题意得； （3分）
（2）由题意，直线的斜率一定不为0，可设直线方程为：，点,且，则①
联立直线和抛物线方程，消元，得代入①式，得或，即直线的方程为或. （12分）
19.
（6分）
(2) 直线DE,DC,DC两两互相垂直，故以点D为坐标原点，分别以正方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则E （0,0,2），A（2,0,0），C（0,4,0），B（2,2,0），F（0,4,2），分别设平面EBC和平面BCF法向量为，，则，取得，
同理， 设所求角为，则，即所求锐二面角的余弦值为 （12分）
20（1）小华同学“立定投篮”合格的概率为，“三步上篮”合格的概率为，则小华同学两项测试均合格的概率为 （4分）
（2）由题意，随机变量X所有可能取值为2,3,4 （5分）
，，，其分布列为
X
2
3
4
（10分）
数学期望为 （12分）
21（1）由题意设椭圆的标准方程为，将点代入椭圆方程得，即椭圆的标准方程 （4分）
（2）结合题意，设直线方程为，点,且，联立直线和椭圆方程，消元，得，则，原点到直线距离为，则的面积，令，则（当时取等号），则，即的面积的最大值为. （12分）
22（1）当时，，当时，；当时，.即函数有极小值，无极大值.（4分）
（2）在区间内有解在区间内有解，即求时，即可
令，
当时，在递减，则；
当时，在递减，在递增
①当时，
②当时，，又
综上，或 （12分）