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- 2021-04-18 发布
巢湖一中高二年级2018—2019学年度第二学期第三次月考
数 学 试 卷（理科）
满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数等于 （ ）
A． B． C． D．
2．且,则乘积等于（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是偶函数,则（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，向量且 ，则（ ）
A． B． C． D．
5. 下面使用类比推理正确的是 ( )
A．“若,则”类推出“若,则”
B．“若”类推出“”
C．“若” 类推出“ ”
D．“” 类推出“”
6. 的展开式中的项的系数是 ( )
A. B． C． D．
7．在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知，
则 ( )
A． B． C． D．
8. 已知为等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
9. 下面的四个不等式：①；②；
③ ；④.其中不成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10. 已知函数,（其中为常数）
函数有两个极值点，则数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11. 现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有（ ）种方法
A．240 B．360 C．420 D．480
12．设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.将答案填在题中横线上.
13. 仔细观察下面4个数字所表示的图形：
请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ．
14. 在△ABC中，已知AB = 3，O为△ABC的外心，且 = 1，则AC = ________．
15. 函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax (a<0) 在区间（-∞，）内单调递减，则a的取值范围是 ．
16. 关于二项式，有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以的余数是。其中所有正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共5小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
一袋中共有个大小相同的黑球个和白球个．
(1) 若从袋中任意摸出个球，求至少有个白球的概率.．
(2)现从中不放回地取球，每次取个球，取次，已知第次取得白球，求第次取得黑球的概率．
18. （本小题满分12分）
已知函数
(1)设是函数图象的一条对称轴，求的值；
（2） 求使得函数在区间上是增函数的的最大值．
19．（本小题满分12分）
（本小题满分12分）如图,在直三棱柱中，平面，其垂足
落在直线上．
（1）求证：⊥
（2）若，，为的中点，
求二面角的平面角的余弦值
20.（本小题满分12分）
某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若椭圆的左焦点为，求面积的最大值.
22．（本小题满分12分）
.
(1)若求的单调区间及的最小值;
(2)若,求的单调区间;
(3)试比较与的大小.,并证明你的结论.
1-12 D B C B C B A D A D C B
13.20201 14. 15. 16. ①、④
17. 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，
则，……………………….4分
(2)令“第1次取得白球”为事件, “第2次取得黑球”为事件，则
，
.
故………………………….10分
18. 解：(1)
或
∴-------------------------6分
（2）
且 所以
∴的最大值-------------------------12分
19. （Ⅰ）证明：三棱柱 为直三棱柱，
平面，又平面，
-平面，且平面，
. 又 平面,平面,，
平面，
又平面，
-----------------------------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，平面,从而
如图,以B为原点建立空间直角坐标系
平面，其垂足落在直线上,
.
x
y
z
在中，，AB=2，
,
在直三棱柱 中，.
在中， , ……………………………………..7分
则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）[]
设平面的一个法向量
则 即
可得…………………………..9分
平面的一个法向量
二面角平面角的余弦值是 ………12分
20. 解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，
解得n=3
即盒中有“会徽卡”3张。……5分
（2）因为表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，……4分
；
；
；
，
概率分布表为：
1
2
3
4
P[]
……10分
的数学期望为。……12分
21. 解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，
∴圆心到直线的距离（*）-------------------1分
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴,， 代入（*）式得， ∴，
故所求椭圆方程为 …………………………………5分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，
将直线方程代入椭圆方程得：，
∴，解得．
设,，则，
∴
到的距离………………………………….9分
令
则
当……………………………12分
22.解:(1)
当时,
在区间上是递增的
当时,
在区间上是递减的. ------
故时,的增区间为,减区间为, …………3分
(2)若,当时,
则在区间上是递增的;
当时,,
在区间上是递减的 ……………………5分
若,当时,
则在区间上是递增的, 在区间上是递减的;
当时,,
在区间上是递减的,而在处有意义;
则在区间上是递增的,在区间上是递减的 ………………………7分
综上: 当时, 的递增区间是,递减区间是;
当,的递增区间是,递减区间是 ………………………8分
(3)由(1)可知,当时,有即
=. …………………………12分