2016年四川省南充市高考一模数学 14页

2016 年四川省南充市高考一模数学 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项在，只 有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 A={x|1＜x＜4}，集合 B={x|(x-3)(x+1)＜0}，则 A∩B=( ) A.{x|-1＜x＜4} B.{x|-1＜x＜1} C.{x|1＜x＜3} D.{x|-1＜x＜3} 解析：∵集合 A={x|1＜x＜4}， 集合 B={x|(x-3)(x+1)＜0}={x|-1＜x＜3}， ∴A∩B={x|1＜x＜3}. 答案：C. 2. 设 i 是虚数单位，则复数   21 1 i i   =( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 解析：复数        2 211 111 iii iii    =i(1+i)=-1+i. 答案：D. 3. 已知命题 P：  x∈R，ex-x-1＞0，则￢P 是( ) A.  x∈R，ex-x-1＜0 B.  x0∈R， 0xe -x0-1≤0 C.  x0∈R， 0xe -x0-1＜0 D.  x∈R，ex-x-1≤0 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 P：  x∈R，ex-x-1＞0，则￢P 是  x0 ∈R， 0xe -x0-1≤0. 答案：B. 4. 下列函数中，满足“f(xy)=f(x)+f(y)”的单调递减函数是( ) A.f(x)=lnx B.f(x)=-x3 C.f(x)=log 1 2 x D.f(x)=3-x 解析：对数函数符合条件 f(xy)=f(x)+f(y)，证明如下： 设 f(x)=logax，其中，x＞0，a＞0 且 a≠1， 则 f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y)， 即对数函数 f(x)=logax，符合条件 f(xy)=f(x)+f(y)， 同时，f(x)单调递减，则 a∈(0，1)， 综合以上分析，对数函数 f(x)=log 1 2 x 符合题意， 答案：C. 5. 如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法--辗转相除法，执行改程序框图， 若输入的 m，n 的值分别为 30，42，则输出的 m=( ) A.0 B.2 C.3 D.6 解析：模拟程序框图的运行过程，如下； m=30，n=42，30÷42=0，余数是 30，r=30， m=42，n=30， 不满足条件 r=0，42÷30=1，余数是 12，r=12，m=30，n=12， 不满足条件 r=0，30÷12=2，余数是 6，r=6，m=12，n=6， 不满足条件 r=0，12÷6=2，余数是 0，r=0，m=6，n=0， 满足条件 r=0，退出循环，输出 m 的值为 6. 答案：D. 6. 为了得到函数 y= sin4x- 3 2 cos4x 的图象，可以将函数 y=sin4x 的图象( ) A.向右平移 12  个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 3  个单位 D.向左平移 个单位 解析：函数 y= 1 2 sin4x- 3 2 cos4x=sin(4x- )， ∵sin(4x- )=sin[4(x- )]， ∴为了得到函数 y= sin4x- cos4x 的图象，可以将函数 y=sin4x 的图象向右平移 个 单位. 答案：A. 7. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于( ) A.45 B.36 C.30 D.6 解析：由三视图可知该几何体为长方体 ABCD-A1B1C1D1 切去一个三棱锥 B1-A1BC1 剩下的几何体. ∴V=4×3×3- 1 3 × 1 2 ×4×3×3=30. 答案：C. 8. 春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在 通电后的 6 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 6 秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同 时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 3 秒的概率是( ) A. 7 8 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 4 解析：设两串彩灯分别在通电后 x 秒，y 秒第一次闪亮， 则所有的可能情况对应的平面区域为正方形 OABC， 作出直线 x-y=3 和直线 y-x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过 3 秒对应的平面区域为六边 形 ODEBGF， ∴P= 213632 32 364 S S  六 形 正方形 边 . 答案：B. 9. 已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA⊥OB(其中 O 为坐标原点)，则△AOB 与△AOF 面积之和的最小值是( ) A.16 B.8 3 C.8 5 D.18 解析：设直线 AB 的方程为：x=ty+m， 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m，0)， x=ty+m 代入 y2=4x，可得 y2-4ty-4m=0， 根据韦达定理有 y1·y2=-4m， ∵OA⊥OB， ∴ ·OA OB =0， ∴x1·x2+y1·y2=0，从而( 1 4 y1· 1 4 y2)2+y1·y2=0， ∵点 A，B 位于 x 轴的两侧， ∴y1·y2=-16，故 m=4. 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y1＞0， 又 F(1，0)， ∴S△ABO+S△AFO= 1 2 ×4×(y1-y2)+ ×y1= 5 2 y1+ 1 32 y ≥8 5 ， 当且仅当 y1= ，即 y1= 85 5 时，取“=”号， ∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 8 . 答案：C. 10. 函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(1)=0，当 x＜0 时，xf′(x)+f(x)＞0， 则使得 f(x)＜0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-∞，-1)∪(0，1) B.(-1，0)∪(1，+∞) C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(0，1) 解析：设 g(x)=xf(x)，则 g′(x)=xf′(x)+f(x)， ∵当 x＜0 时，xf′(x)+f(x)＞0， ∴则当 x＜0 时，g′(x)＞0， ∴函数 g(x)=xf(x)在(-∞，0)上为增函数， ∵函数 f(x)是奇函数，∴g(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)]=xf(x)=g(x)， ∴函数 g(x)为定义域上的偶函数， 由 f(1)=0 得，g(1)=0，函数 g(x)的图象大致如右图： ∵不等式 f(x)＜0   gx x ＜0， ∴   0 0 x gx  ＞ ＜ 或   0 0 x gx  ＜ ＞ ， 由函数的图象得，-1＜x＜0 或 x＞1， ∴使得 f(x)＜0 成立的 x 的取值范围是：(-1，0)∪(1，+∞). 答案：B. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. 在(3-x)5 的展开式中，含 x3 的项的系数是_____(用数字作答) 解析：(3-x)5 的展开式中，通项公式是 Tr+1=C5 r ·35-r·(-1)r·xr， 令 r=3，得含 x3 的项的系数是 C5 3 ·32·(-1)3=-90. 答案：-90. 12. 已知α∈(0， 2  )，β∈(0， 2  )，且 cosα= 1 7 ，cos(α+β)=- 11 14 ，则 sinβ=_____. 解析：∵已知α∈(0， 2  )，β∈(0， 2  )，且 cosα= ，cos(α+β)=- ， ∴sinα= 21 cos  = 4 3? 7 ，sin(α+β)= 2 ()1 cos = 5 3? 14 ， 则 sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα= · -(- )· = 3? 2 . 答案： . 13. 已知实数 x，y 满足 220 240 330 xy xy xy       ，则 x2+y2 的最大值为_____. 解析：先根据约束条件画出可行域， 而 z=x2+y2， 表示可行域内点到原点距离 OP 的平方， 点 P 在黄色区域里运动时，点 P 跑到点 C 时 OP 最大 当在点 C(2，3)时，z 最大，最大值为 22+32=13. 答案：13 14.设四边形 ABCD 为平行四边形，| AB |=8，| AD |=3，若点 M，N 满足 3DM MC ， 2BN NC ，则 AM MN =_____. 解析：∵ ， ，∴ 33 44DMDCAB， 11 44MCDCAB， 111 333CNCBBCAD  ， ∴ 3= 4AMADDMADAB ， 11= 43MNMCCNABAD . 22 223113131 839443163163AM MNADABABADABAD       答案：9. 15. 设 S 为复数集 C 的非空子集.如果 (1)S 含有一个不等于 0 的数； (2)  a，b∈S，a+b，a-b，ab∈S； (3)  a，b∈S，且 b≠0， a b ∈S，那么就称 S 是一个数域. 现有如下命题： ①如果 S 是一个数域，则 0，1∈S； ②如果 S 是一个数域，那么 S 含有无限多个数； ③复数集是数域； ④S={a+b 2 |a，b∈Q，}是数域； ⑤S={a+bi|a，b∈Z}是数域. 其中是真命题的有_____(写出所有真命题的序号). 解析：由已知中(1)S 含有一个不等于 0 的数； (2) a，b∈S，a+b，a-b，ab∈S； (3)  a，b∈S，且 b≠0， a b ∈S，那么就称 S 是一个数域. 令 a=b≠0， 则 a-b=0∈S； =1∈S，故①正确； na∈S，n∈Z，故②正确； 复数集 C 满足 3 个条件，故复数集是数域，故③正确； S={a+b |a，b∈Q，}满足 3 个条件，故 S 是数域，故④正确； S={a+bi|a，b∈Z}不满足条件(3)，故 S 不是数域，故⑤错误； 答案：①②③④ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知数列{an}满足 a1=1，an+1=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn= 1 2 n(an+1)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析：(1)通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2(an+1)，进而可知数列{an+1}是首项、公比均 为 2 的等比数列，计算即得结论； (2)通过(1)可知 bn=n·2n-1，进而利用错位相减法计算即得结论. 答案：(1)∵an+1=2an+1， ∴an+1+1=2(an+1)， 又∵a1=1， ∴数列{an+1}是首项、公比均为 2 的等比数列， ∴an+1=2n， ∴an=-1+2n； (2)由(1)可知 bn= 1 2 n(an+1)= 1 2 n·2n=n·2n-1， ∴Tn=1·20+2·2+…+n·2n-1， 2Tn=1·2+2·22…+(n-1)·2n-1+n·2n， 错位相减得：-Tn=1+2+22…+2n-1-n·2n = 12 12 n  -n·2n =-1-(n-1)·2n， 于是 Tn=1+(n-1)·2n. 17. 某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了 2 名男生，3 名女生，理学院推荐了 4 名男生，3 名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训， 由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代 表队. (1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名学生在随机抽取 4 名参赛，记 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列与数学期望. 解析：(1)求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可； (2)求出 X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解数学期望. 答案：(1)由题意，参加集训的男、女学生共有 6 人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文 学院中没有学生入选代表队)的概率为： 33 34 33 66 1 100 CC CC  ，因此文学院至少有一名学生入选代 表队的概率为： 1 991 100 100； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则 X 的可能取值为：1，2，3， P(X=1)= 3 6 1 3 4 3 1 5 CC C  ，P(X=2)= 22 6 3 4 3 3 5 CC C  ，P(X=3)= . X 的分布列： 和数学期望 EX=1× 1 5 +2× 3 5 +3× 1 5 =2. 18. 已知函数 f(x)=sinx(sinx+ 3 cosx). (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f( 2 A )=1，a=2 3 ，求三 角形 ABC 面积的最大值. 解析：(1)利用二倍角公式化简 f(x)； (2)求出 A，根据余弦定理和基本不等式得出 bc 的最大值，代入面积公式即可. 答案：(1)f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx= 1 2 - cos2x+ 3 2 sin2x=sin(2x- 6  )+ . ∴f(x)的最小正周期 T= 2 2  =π，f(x)的最大值是 3 2 . (2)∵f( 2 A )=sin(A- )+ =1，∴sin(A- )= ，∴A= 3  . ∵a2=b2+c2-2bccosA，∴12=b2+c2-bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12. ∴S= bcsinA= 3 4 bc≤3 . ∴三角形 ABC 面积的最大值是 3 . 19. 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，SD=DC=2AD，侧棱 SD⊥底面 ABCD，点 E 是 SC 的中点，点 F 在 SB 上，且 EF⊥SB. (1)求证：SA∥平面 BDE； (2)求证 SB⊥平面 DEF； (3)求二面角 C-SB-D 的余弦值. 解析：(1)连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.然后利用三角形中位线的性质可得 OE∥SA，再由 线面平行的判定定理证得 SA∥平面 BDE； (2)由 SD=DC，E 是 SC 的中点可得 DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性质得到 BC⊥平面 SDC， 从而得到 BC⊥DE，进一步得到 SB⊥DE，结合已知 EF⊥SB，由线面垂直的判定得结论； (3)根据二面角的定义得到∠EFD 是二面角 C-SB-D 的平面角，根据三角形的边角关系进行求 解即可. 答案：(1)证明：如图， 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE. ∵点 O、E 分别为 AC、SC 的中点， ∴OE∥SA，又 OE?平面 BDE，SA 平面 BDE， ∴SA∥平面 BDE； (2)证明：∵SD=DC，E 是 SC 的中点，∴DE⊥SC， 又 SD⊥底面 ABCD，∴平面 SDC⊥平面 ABCD， ∵底面 ABCD 是矩形，∴BC⊥平面 SDC， ∴BC⊥DE， 又 SC∩BC=C，∴DE⊥平面 SBC， 又 SB 平面 SBC，∴SB⊥DE， 又 EF⊥SB， EF∩ED=E， ∴SB⊥平面 EFD； (3)∵EF⊥SB，SB⊥平面 EFD， ∴∠EFD 是二面角 C-SB-D 的平面角， 设 AD=1，则 SD=CD=2， 则 SC=2 2 ，SB= 22B C S C =3，BD= 22A D A B = 14 = 5 ，DE= ， 在三角形 SDB 中，SB?DF=SD?BD，即 DF= 25· 25==33 SDBD SB  ， 在三角形 SBC 中，sinCSB= BC SB ＝ EF SE ＝ 1 3 ，即 EF= SE= 2 3 ， 在三角形 DEF 中，cosEFD= 222 2? EFDFDE EFDF  =   22 2 2 4102 225 220 233 99= 225 33 9         = 22 18 4 10  ＝ 4 4 10 ＝ 1 10 = 10 10 ， 即二面角 C-SB-D 的余弦值是 . 20. 已知圆 F1：(x+1)2+y2=1，圆 F2：(x-1)2+y2=25，动圆 P 与圆 F1 外切并且与圆 F2 内切，动 圆圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程； (Ⅱ)若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1，A2，点 M 是曲线 C 上异于点 A1，A2 的点，直线 A1M 与 A2M 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2 的值. (Ⅲ)过点(2，0)作直线 l 与曲线C 交于 A，B两点，在曲线 C上是否存在点 N，使 OAOBON？ 若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解析：(Ⅰ)通过设 P(x，y)、动圆 P 的比较为 r，利用圆与圆的位置关系可知|PF1|=1+r、 |PF2|=5-r，进而化简可知动圆圆心 P 的轨迹是以 F1(-1，0)、F2(1，0)为焦点、长轴长为 6 的椭圆，计算即得结论； (Ⅱ)通过(Ⅰ)可知 A1(-3，0)、A2(3，0)，通过设 M(x，y)，利用 22 198 xy及 k1k2= 00·33 yy xx   化简计算即得结论； (Ⅲ)通过设过点(2，0)的直线 l 方程为 x=my+2，并与曲线 C 方程联立，利用韦达定理及 N(x1+x2， y1+y2)在曲线 C 上化简计算即得结论. 答案：(Ⅰ)依题意，F1(-1，0)，F2(1，0)， 设 P(x，y)，动圆 P 的比较为 r，则|PF1|=1+r，|PF2|=5-r， ∴|PF1|+|PF2|=6， ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 F1(-1，0)、F2(1，0)为焦点，长轴长为 6 的椭圆， 则 b2=a2-c2=9-1=8， 于是曲线 C 的方程为： 22 198 xy； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A1(-3，0)，A2(3，0)， 设 M(x，y)，则 ， 于是 k1k2= 22 22 00·33 8= 999 8 yy yx yy xx      ； (Ⅲ)结论：在曲线 C 上存在点 N，使 OA OB ON ，且直线 l 方程为 x=± 14 4 y+2. 理由如下： 设过点(2，0)的直线 l 方程为：x=my+2， 联立直线 l 与曲线 C 的方程，消去 x，整理得： (9+8m2)y2+32my-40=0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1+y2= 2 32 98 m m  ，y1y2= 2 40 98m  ， ∵ ， ∴N(x1+x2，y1+y2)在曲线 C 上， ∴    22 1 2 1 2 198 x x y y， 又∵x1+x2=m(y1+y2)+4=4- = 2 36 98m  ， ∴ 1 9 ·( )2+ 1 8 ·( 2 32 98 m m  )2=1， 整理得：9+8m2=16， 解得：m=± ， 于是在曲线 C 上存在点 N，使 ，且直线 l 方程为 x=± y+2. 21. 设函数 f(x)= 2 xe x +k( 2 x +lnx)(k 为常数). (1)当 k=0 时，求曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当 k≥0 时，求函数 f(x)的单调区间； (3)若函数 f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求 k 的取值范围. 解析：(1)求导 f′(x)= 3 2xxxee x  ，从而可得 f(1)=e，f′(1)=-e，从而确定切线方程； (2)求导 f′(x)=(x-2) 3 xe kx x  ，从而判断导数的正负以确定函数的单调性； (3)求导 f′(x)=(x-2) 3 xe kx x  ，从而可得 h(x)=ex+kx 在(0，2)内存在两个零点，从而化为 y=ex 与 y=-kx 的图象在(0，2)内有两个交点，从而利用数形结合求解. 答案：(1)当 k=0 时，f(x)= ，f′(x)= ， 故 f(1)=e，f′(1)=-e， 故曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y-e=-e(x-1)， 即切线方程为：ex+y-2e=0； (2)f(x)= +k( 2 x +lnx)的定义域为(0，+∞)， f′(x)= +k(- 2 2 x + 1 x )=(x-2) ， ∵k≥0，且 x∈(0，+∞)，∴ ＞0， 故当 x∈(0，2)时，f′(x)＜0，当 x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0； 故函数 f(x)的单调减区间为(0，2)，单调增区间为(2，+∞)； (3)由(2)知，f′(x)=(x-2) 3 xe kx x  ， ∵ 3 2x x  ＜0 在(0，2)上恒成立， 又∵函数 f(x)在(0，2)内存在两个极值点， ∴h(x)=ex+kx 在(0，2)内存在两个零点， ∴y=ex 与 y=-kx 的图象在(0，2)内有两个交点， 作 y=ex 与 y=-kx 的图象如图， 相切时，设切点为(x，ex)，则 xe x =ex， 故 x=1； 故 k1=e； k2= 220 202 ee  ， 故 e＜-k＜ 2 2 e ， 故- 2 2 e ＜k＜-e.