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- 2021-04-17 发布
天水市一中2018级2020-2021学年度第一次考试试题
数学试题（文科）.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知函数，则
A. -2 B. -1 C. D.
3．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
4. 已知是R上的奇函数，且当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
5．以下说法错误的是（）
A. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”．
B. “”是“”的充分不必要条件．
C. 若命题,使得，则,．
D. 若为假命题,则、均为假命题．
6．函数f（x）＝sin2x＋cosx的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
10
7．在△ABC中，，则∠B=（ ）
A. B. C. D. 或
8．已知，且α∈（0，π），则（ ）
A. B. C. D.
9．已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
10. 函数在处有极值为10，则a的值为（ ）
A. 3 B. -4 C. -3 D. -4或3
11. 已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若不等式在x∈（0，＋∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角C等于60°，若a=4，b=2，则c的长为______．
10
14．曲线在点处的切线方程与直线垂直，则______．
15．若函数的值域为，则正整数的最小值是______．
16．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1] 时，，有以下结论：
①2是函数f（x）的一个周期；
②函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增；
③函数f（x）的最大值为1，最小值为0；
④当x∈（3，4）时，．
其中，正确结论的序号是______．（请写出所有正确结论的序号）
三、解答题（共70分.）
17．(10分）已知等差数列满足，且与的等差中项为5.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.求数列的前项和.
18．(12分）已知函数
（1）求它的单调递增区间；
（2）若，求此函数的值域.
19．(12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝acosB+asinB．
（1）求B；
（2）若b＝2，求面积的最大值．
20．(12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”
10
的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下列联表：
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
10
合计
45
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求每周线上学习时间不足5小时的人数为1人的概率．
（下面的临界值表供参考）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式其中）
21．(12分）设曲线在点处取得极值.
（1）求的值.
（2）求函数的单调区间和极值.
22. (12分）已知, 函数
(1)求证：. (2)讨论函数零点的个数.
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天水市一中2018级2020-2021学年度第一次考试试题
数学试题答案（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.）
1-5 B C C A D
6-10 D A B D B
11-12 A B
12.【解答】
解：由f（x）＝mlnx-2x，
故f（ex）＝mx-2ex
由不等式f（x＋1）＞mx-2ex在x∈（0，＋∞）上恒成立，
则f（x＋1）＞f（ex）在x∈（0，＋∞）上恒成立．
∵1＜x＋1＜ex ，
∴f（x）＝mlnx-2x在x∈（1，＋∞）上单调递减，
∴对x∈（1，＋∞）恒成立，
∴m≤2x对x∈（1，＋∞）恒成立 ，
∴m≤2.
故选B.
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．2 14． 15．5 16．①②④
三、解答题（共70分）
17．(10分）（1）；（2）.
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，∵，即，
∵与的等差中项为5∴解得
10
∴数列的通项公式为
（2）由（1）得
∴
。
18．(12分）（1）（）；（2）.
【解析】
（1）
由，
得，.
故此函数的单调递增区间为（）.
（2）由，得.
的值域为.
的值域为，
故此函数的值域为
10
19．(12分）（1）；（2）.
【解析】
（1）因为2bsinA＝acosB+asinB,
所以,
,
因为，, ,所以
（2）由余弦定理可得，
代入数据可得，
∴，当且仅当时取等号，
∴△ABC的面积，当且仅当时取等号，
∴△ABC的面积的最大值为．
20．(12分）（1）列联表见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）概率为.
【解析】
（1）
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45
10
∵
∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”
（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，线上学习时间不足5小时的学生2人，所以5名学生中随机抽取2人包含的基本事件总数数为10，设每周线上学习时间不足5小时的人数为1人为事件A,则A包含的基本事件数为6，故
21．(12分）(1)2；(2)在区间和单调递减，在区间单调递增；的极大值为；的极小值为.
【解析】
（1）因为，故可得，
又因为，故可得，解得.
（2）由（1）可知，
，
令，解得，
又因为函数定义域为，
故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.
故的极大值为；的极小值为.
22.(12分）(1)证明：设G(x)=g(x)-x,则G(x)=lnx -x,
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∴x>0,且G'(x)=-1=,
当00,G(x)单调递增;
当x>1时,G'(x)<0,G(x)单调递减.
故G(x)max=G(1)=-1<0,
∴g(x)0),
∴x>0,f'(x)=,
∵(-1)2+8a>0,∴方程2ax2-x-1=0有两个不相等的实根,设为x1,x2(x1x2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(x2)=a-x2-lnx2,
∵2a-x2-1=0,即a=x2+,
∴f(x)min=-x2-lnx2+.
设F(x)=-x-lnx +,则F'(x)=--<0,
∴F(x)在(0,+∞)上单调递减,且有F(1)=0.
当x2=1,即a=1时,f(x)min=F(x2)=0,函数f(x)只有一个零点.
10
当01时,f(x)min=F(x2)>0,
函数f(x)没有零点.
当x2>1,即a∈(0,1)时,f(x)min=F(x2)<0,
又f()=-+1>0,且当x→+∞时,f(x)=ax2-x-lnx＞ax2-2x>0,
可得f(x)在和(x2,+∞)上各有一个零点,故f(x)有两个零点.
综上,当01时,函数f(x)没有零点.
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