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- 2021-04-17 发布
专题07+二次函数与幂函数
1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝( )
A. B．4
C. D.
【解析】 设f(x)＝xα，因为图像过点，代入【解析】式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝.
【答案】C
2．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为( )
A．－3 B．－
C．3 D.
【解析】 设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.
∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.
【答案】D
3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )．
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
【答案】 B
4．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】 f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔或解得a＝
－3.
【答案】 A
5 .函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )．
A．{1,2} B．{1,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}
【解析】 设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.
而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称．而选项D中≠.
【答案】 D
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】 C
7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
【解析】 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．
【答案】 ①②⑤⑥
8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
【解析】 由已知得⇒
【答案】 a>0，ac＝4
9．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵∴m＝β＋.
∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增函数，
∴1＋1＜m＜2＋，即m∈.
【答案】
10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，
则m的取值范围是________．
零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或解第一个不等式组得－40，求实数a的取值范围．
解 不等式ax2－2x＋2>0等价于a>，
设g(x)＝，x∈(1,4)，则
g′(x)＝
＝＝，
当10，当2，
因此实数a的取值范围是.
14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．