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- 2021-04-17 发布
重庆市云阳江口中学校·高2020级高三下期第1次月考试卷
数学（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则（ ）
A． B． C．5 D．3
3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．已知小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的部分图像大致为（ ）
A B C D
9．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是（ ）
A．3 B． C． D．3
10．如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，函数，若方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷(共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ．
14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种．(用数字作答)
15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
16．已知的最大值为，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
18．（本小题满分12分）
近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：
对优惠活动好评
对优惠活动不满意
合计
对车辆状况好评
对车辆状况不满意
合计
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？
（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：，其中．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点(，1)，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为－．
（1）求椭圆的方程；
（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x＝m于点M，当m为何值时，为定值．
21．（本小题满分12分）
（1）讨论函数的单调性，并证明当>0时，
（2）证明：当时，函数有最小值．设g（x）的最小值为，求函数的值域．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分12分）[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(其中t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）写出直线C1的极坐标方程；
（2）设动直线l：y＝kx(k>0)与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值．
23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x－2|．
（1）求不等式f(x)≤2x＋5的解集；
（2）记函数g(x)＝f(x＋1)－f(－x＋5)，且g(x)的最大值为M，若a>0，求证：．
重庆市云阳江口中学校·高2020级高三上第一次月考测试卷
数 学（理）·答案
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
C
A
B
D
D
B
C
D
B
D
12.【解析】当时，，则，由可得或（舍去）.
当时，，当时，
，故在上单调递增，在上单调递减.
因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示.
由图可知，若函数与恰好有4个公共点，则，
即，解之得.
二、填空题
13. 14. 60 15. 1和3 16.17
16.【解析】，最大值为，故，整理可得，则
,
当且仅当时，取得等号，故的最小值为17.
三、解答题
17.17.解：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
18.解：（1）由列联表的数据，有
.
因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为0，1，2，3，4.
∵，，
，，
，
∴的分布列为：
的数学期望为（元）.
19（Ⅰ）∵顶点在底面上的射影在棱上，
∴平面平面，
∵，∴，................................................................................2分
∵平面平面，∴平面，面，∴，
由，，得，∴，
∵，∴平面．.............................................................................2分
（Ⅱ）连结，分别以、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，................................................................................5分
，，，，，，
，，，................................................................................6分
设为平面的一个法向量，则，
取，得，................................................................................9分
，，
设平面的法向量，则，
取，则，................................................................................11分
设二面角的平面角为，则．...............................................................................12分
∴二面角的余弦值为．
20.解：（1）椭圆过点，∴，① ………2分
又因为直线的斜率之积为，可求得，②
联立①②得．
∴所求的椭圆方程为． ……………………………………………6分
（2）方法1：由（1）知，． 由题意可设，
令x=m,得．又设
由整理得：．…………………6分
∵，∴，，
所以， ……………………………………………………8分
∴ ，…10分
要使与k无关，只须，此时恒等于4.
∴ ……………………………………………………………………………12分
方法2：:设，则，令x=m,得，
∴
由有，
所以，
要使与无关，只须，此时.
∴ …………………………………………………………………………12分
21.解析：（Ⅰ）的定义域为.
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有最小值，的值域是
22.解：（1）直线的直角坐标方程为，
将，代入方程得
，即， …………………………5分
（2）设直线的极坐标方程为，设，
则，
由，有，
当时，的最大值为． ………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）由得，解得
不等式的解集为． ………………………5分
（2）
当且仅当时等号成立，
， ………………………7分
．
当且仅当，即时等号成立． ………………………10分