2018-2019学年湖北省沙市中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 9页

湖北省沙市中学2018-2019学年高二下学期期中考试 理数试卷 ‎ ‎ 考试时间：‎2019年4月23日 ‎ 一．选择题 高二年级期中考试理数答案 ‎．D ‎．是虚数单位，复数满足，则=（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎．B ‎．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（　　）‎ A．任意一个有理数,它的平方是有理数 B．任意一个无理数,它的平方不是有理数 ‎ C．存在一个有理数,它的平方是有理数 D．存在一个无理数,它的平方不是有理数 ‎．B ‎ ‎．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎．B ‎．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎．A 解：不等式对一切实数x恒成立，故选A。‎ ‎．“ ”是“不等式对一切实数x恒成立”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎． D ‎ ‎．已知向量 ，且与互相垂直，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎．C ‎．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎．A 解：‎ ‎． 已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎．A ‎． 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎．C 解：，使得成立，则，∵，，∴‎ ‎．已知，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎．A ‎．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎．D ‎．已知为常数，函数有两个极值点，则(　　)‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 二．填空题 ‎．41 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为＝n，所以当n＝6时，，.‎ ‎．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均为正实数)，由以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.‎ ‎．‎ ‎． ‎ ‎． 解：，考虑的几何意义即可得，点在线段上，则，∴‎ ‎．已知是椭圆的两个焦点,分别是该椭圆的右顶点和上顶点，点 在线段上，则的最小值为 ‎ ‎． ‎ ‎．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ‎ 三．解答题 ‎．（1）若p为真，则；‎ ‎（2）若q为真，则；‎ 由题意知，p假或q假，所以p假：或，或q假：‎ ‎ ∴或 ‎．已知,命题：对任意，不等式恒成立；命题：曲线 在任意一点处的切线斜率均大于． ‎ ‎(Ⅰ）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ）若命题是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎．解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.‎ 故长方体的体积为，而 令，解得x=0（舍去）或，因此x=1.‎ 当0＜x＜10时，；当时，，‎ 故在x=10处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。‎ 从而最大体积（cm3），此时长方体的长为‎20cm，高为‎15cm.‎ 答：当长方体的长为‎20cm时，宽为‎10cm，高为‎15cm时，体积最大，最大体积为‎3000cm3。‎ ‎．现将一根长为‎180 cm的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？‎ ‎．解：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点， ‎ ‎ 长半轴为2的椭圆。它的短半轴，故曲线C的方程为 （2） 设直线，分别交曲线C于，，其坐标满足 ‎ 消去并整理得 故 ，‎ 若以线段AB为直线的圆过坐标原点，则，即 而，于是 化简得，所以，所以直线的方程为：‎ ‎．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。‎ ‎ （1）求曲线的方程； ‎ ‎ （2）过点作直线与曲线交于点、，以线段为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线的方程，若不能请说明理由.‎ ‎． 解：（Ⅰ）证明：平面， ‎ ‎ 四边形是菱形 ，‎ 又 ， 所以平面， ‎ ‎ 又平面，所以平面平面． （6分）‎ ‎（Ⅱ）取的中点，由题易证，分别以为轴，建立空间直角坐标系(如图)，‎ 设．‎ 所以 ． …………………………（7分）‎ 设平面的法向量为,根据，得， ‎ 令，则 ． …………………………（9分）‎ 平面的法向量可取， …………………………（10分）‎ 由题，，解得，‎ 所以线段的长为． …………………………（12分）‎ ‎．如图，四棱锥，底面是边长为的菱形，，且平面．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面与平面的夹角为，试求线段的长．‎ ‎ ‎ ‎．解：所在直线的方程为，代入中，得，‎ 设，则有，从而．‎ 则．-----------------------------3分 设所在直线的方程为，同理可得． ‎ ‎（1），． -----------------------------4分 又，故，于是△的面积 ‎，‎ 当且仅当时等号成立．‎ 所以，△的面积的最小值为 ------------------------------------------6分 ‎（2），所在直线的方程为，‎ 即． ------------------------------------------9分 又，即，代入上式，得，‎ 即 ．∵，∴是此方程的一组解，‎ 所以直线恒过定点． ------------------------------------------12分 ‎．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．‎ ‎（1）当时，求△的面积的最小值；‎ ‎（2）若且，证明：直线过定点，并求定点坐标。‎ A Ｄ E B C ‎．解：（Ⅰ）由，因为在时有极大值，‎ 所以，从而得或，--------------------3分， ‎ ‎①当时，，此时，当时，，当时，，∴在时有极小值，不合题意，舍去；-------------------4分 ‎ ②当时，，此时，符合题意。‎ ‎∴所求的 ------------------6分 ‎（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于 ‎，即， ‎ 记，则，------------------8分 由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，------------------9分 对任意正实数恒成立，等价于，即，----10分 记因为在上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故的最大值为4. ------------------12分 ‎ ‎ ‎．已知函数，且时有极大值.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）‎