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- 2021-04-17 发布
数学理科试卷
一.选择题：（每题5分，共60分）
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
B={x∣x2−2x⩽0}={x|0⩽x⩽2}，
则A∩B={x|0⩽x⩽1}，
本题选择D选项
2.已知，，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，解得两个向量的坐标，利用坐标计算两向量的夹角余弦值即可.
【详解】因为，
故可得，设向量与的夹角为
则
则.
故选：C.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属综合基础题.
3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号从1到1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】A
【解析】
试题分析：采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，需要分50组，每组20人．因为，在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．所以，编号落入区间[1，400]的人分20组有20人，做问卷A，编号落入区间[401，740]的人分17组，抽取17人，[741,750]中又抽取1人，即有18人做问卷B，故做问卷C的人数为50-20-18=12（人），故选A．
考点：本题主要考查系统抽样，简单随机抽样．
点评：简单题，系统抽样，首先应分组，组数=样本总数÷样本数，本题中，第一组抽到8号，所以，以后各组抽到的是20k+8.
4.执行如图所示的程序框图,输出的结果为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
第一次循环后，，第二次循环后，第三次循环后，故选B．
5.设为坐标原点，，若满足，则的最大值为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【详解】∵M（1，2），N（x，y），∴目标函数zx+2y
作出不等式组表示的平面区域，
得到直线2x+y﹣4＝0下方，且在直线x﹣y+2＝0下方的平面区域
即如图的阴影部分，其中A（，）为两条直线的交点
设z＝F（x，y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值＝F（，）＝6
故选：B．
考点：线性规划的最优解的简单运用
点评：解决该试题的关键是能通过不等式组得到区域，然后结合向量的数量积来得到目标函数，平移得到结论，属于基础题．
6. 下图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体
体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由图可知这是一个长方体挖掉一个四棱锥所得，挖掉体积是原体积的，所以剩余体积是原体积的.
考点：三视图.
7.已知p：函数在(－∞，－1)上是减函数，q：∀x>0，恒成立，则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
对于命题：利用二次函数的单调性可得，：，对于命题：由于，利用基本不等式的性质可得，即可得出结论
【详解】：函数在上是减函数，所以，所以：，
：因为，所以，
当且仅当时取等号，所以.
则是的充分不必要条件，
故选
【点睛】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，根据题目条件先求出命题成立的取值范围，然后求出结果．
8.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值．
【详解】解：将函数，
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，
再向右平移个单位长度得到的图象，
，且，，
求得，，函数，，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
9.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的零点之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出是以4为周期的周期函数，由当时，，作出在内的图象，数形结合能求出方程在内的零点之和．
【详解】解：定义在上的奇函数的图象关于直线对称，
，即，
是以4为周期的周期函数，
当时，，
在内的图象如下图：
结合图象得：
方程在内的零点之和为：
．
故选：．
【点睛】本题考查函数在给定区间内的零点之和的求法，解题时要认真审题，注意函数性质和数形结合思想的合理运用，属于中档题．
10.设，点为双曲线的左顶点，线段交双曲线一条渐近线于点，且满足，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出点的坐标，再根据余弦定理即可求出．
【详解】解：，，
直线的方程为，
抛物线的一条渐近线方程为，
由，解得，，
，
，，
由余弦定理可得，
整理可得，
即，
故选：．
【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及余弦定理和离心率公式，属于中档题．
11.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．
【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；
如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，
再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有种选择；
如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有种选择，
得到第5球独占一盒的选择有种，
第二类，第5球不独占一盒，先放号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；，
根据分类计数原理得，不同的方法有种．
而将五球放到4盒共有种不同的办法，
故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率
故选：．
【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．
12.已知，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是（ ）
A. 存在，使得 B. 存在，使得
C. 的最大值为 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数的导数，根据函数存在极小值等价为有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．
【详解】解：函数的定义域为，
则函数的导数，
若函数存在极大值点，
则有解，
即有两个不等的正根，
则，得，，
由得，，
分析易得的极大值点为，
，，
，
则，
设，，
的极大值恒小于0等价为恒小于0，
，
在上单调递增，
故，
得，即，
故的最大值为是，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
二.填空题：（每题5分，共20分）
13.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得值．
【详解】解：是纯虚数，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．
14.已知，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
对二项式两边同时取导数，再令即可求出式子的值；
【详解】解：因为
两边同时取导数得
再令得
故答案为：
【点睛】本题考查用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题.
15.已知点P是抛物线上的一个动点，点Q是圆上的一个动点，点是一个定点，则的最小值为______用数字填写
【答案】3
【解析】
【分析】
结合题意，判定Q,P处以哪个位置的时候，能使题目所求式子取得最小值，计算结果，即可．
【详解】结合题意，绘制图像，过点P作准线的垂线，垂足为M.
由抛物线定义可知，PN=PM
当P,Q所在直线在过圆心且垂直于抛物线的准线的直线上，此时取得最小值，
O点坐标为故最小值为4-1=3.
【点睛】考查了抛物线的性质，考查了抛物线计算最值问题，关键利用好抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，难度中等．
16.已知数列的前项和为，对任意，，且
恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由得,再由当n⩾2时,,通过讨论n的奇偶分别得到(n为正奇数),(n为正偶数)，从而得到数列的单调性，进而得到若恒成立，则,从而得解.
【详解】由,令,得；
当n⩾2时,
，
若n为偶数,则,∴(n为正奇数)；
若n为奇数,则
∴(n为正偶数).
函数 (n为正奇数)为减函数,最大值为，
函数 (n为正偶数)为增函数,最小值为，
若恒成立，
则,即.
故答案为.
【点睛】⑴对于数列递推关系中含有,通常是通过讨论n的奇偶分情况求数列通项公式,
⑵根据不等式恒成立，求参数的取值范围.一般的方法是分离变量，转化为数列的最值问题.
三.解答题：
17.在中，角所对的边分别是，已知.
（1）若的面积等于，求；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由三角形的面积公式表示出三角形的面积，将的值代入求出的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将的值代入求出的值，即可求，；
（2）化简可得，分或者讨论，由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可得解．
【详解】解：（1），
，
由余弦定理，即，
则，
，；
（2），
，
当，即，
由，，由
所以，；
当，得到，利用正弦定理得：，不满足，舍去．
【点睛】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
18.数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，
.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由是和1的等差中项，得，由可得数列递推式，从而可判断是等比数列，可求，由等差数列通项公式可求公差；
（2）利用裂项相消法可求得，根据的表达式及单调性可求其范围即可得证；
【详解】解：（1）是和1的等差中项，，
当时，，，
当时，，
，即，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，，
设的公差为，，，，
；
（2），
，
，，
又，
数列一个递增数列，
．
综上所述，．
【点睛】本题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和等知识，裂项相消法求和，属于中档题．
19.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1
（1）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
不支持
合计
（2）若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不支持“生育二胎”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
参考数据：
0．05
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
，其中．
【答案】（1）没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】
试题分析：（1）根据统计数据，可得 列联表，根据列联表中的数据，计算 的值，与邻界值比较即可得到结论；（2）)所有可能取值有0, 1,2,3,结合排列组合知识利用古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.
试题解析：
(1)2乘2列联表:
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
32
不支持
18
合 计
10
40
50
＜,
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.
(2)所有可能取值有0, 1,2,3,
所以的分布列是
0
1
2
3
P
所以的期望值
【方法点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及其期望，以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
20.如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，平面⊥平面，.
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可证明平面；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】解：由平面平面，平面平面，，
平面，
平面．
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得， ， ，， ，
（1）设平面的法向量为，
，
，即，
，
平面的一个法向量为
，
，
平面，
平面．
（2）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为．
因为，，
由得，
平面的一个法向量为，
，，，
．
故平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力，属于中档题．
21.已知椭圆:的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足
（1）求椭圆的方程；
（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(1)首先可以通过抛物线与椭圆有相同的焦点得出椭圆的焦点坐标，然后通过列出等式并解出的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果；
(2)首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将切线方程与椭圆方程联立，设两点坐标为并根据切线方程与椭圆交于两点并求出的值，然后根据的值写出的中点坐标以及的垂直平分线方程，最后写出
并得出结果．
【详解】(1)因为抛物线与椭圆有相同的焦点，
所以椭圆的焦点，，
设点P的坐标为则，解得（舍去），
将点坐标代入抛物线方程式可得，又，
联立可解得，所以椭圆的方程为；
(2)设与抛物线相切的切点坐标为，
将抛物线转化为可知，即切线斜率为，
通过点斜式方程可知直线，
整理得直线，与轴交点坐标
与椭圆方程联立可得，
设，所以，的中点坐标为，
所以的垂直平分线方程为，
即，
因为所以，当且仅当时“”号，此时取最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质、抛物线的相关性质、两点间距离公式、抛物线与直线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性，提高了学生对于圆锥曲线综合的理解，是难题．
22.已知函数
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，则当时，函数的图象是否总在直线上方？请写出判断过程.
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）=x，讨论m的范围，根据函数的单调性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，结合函数恒成立分别判断即可证明结论．
【详解】(1)函数定义域为，
.
①当，即时，,此时在上单调递增；
②当，即，
时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增.
③当，即时，，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增.
综上所述，①当时，上单调递增，
②当时，在和上单调递增，在上单调递减，
③当时， 和上单调递增，在上单调递减.
(2)当时，由(1)知在上单调递增，在上单调递减.
令.
①当时，，所以函数图象在图象上方.
②当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，
其中，
令，
令，则，
因，所以，单调递增；
所以，故存在，
使得，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，
所以时，，
即，也即，
所以函数的图象总在直线上方.
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.