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- 2021-04-17 发布
新余四中2017-2018学年下学期高二年级第一次段考
数学（理科）试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）
1.命题：“对任意,”的否定是( )
A.存在 x∈R, B.对任意x∈R,
C.存在x∈R, D.对任意x∈R,
2.若抛物线上的点到其焦点的距离为5，则n=( )
A. B. C.3 D.4
3.在下列命题中，真命题是( )
A.“x=2时,x2－3x+2=0”的否命题； B.“若b=3,则b2=9”的逆命题;
C.若ac>bc,则a>b; D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
4.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A． B． C． D．
5.直线过双曲线的一个焦点且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆C：，直线与椭圆交于A,B，且M（1，1）为线段AB的中点，则直线的斜率为( )
A.2 B.-2 C. D.
7.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为( )
A． B． C． D．
8.若斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
9.若点P是椭圆上的一动点，是椭圆的两个焦点，则最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线C:，直线，PA,PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，则“点P在直线上”是“PAPB”的( )条件
A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要
11.在正方体中，是的中点，点是矩形所在平面内的动点，且满足，则点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
12.过椭圆上一点M作圆的两条切线，切点为A、B，过A、B的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为( )
A．B．1C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在空间直角坐标系中，,则=
14.已知抛物线的焦点和点，为抛物线上一点，则
的最小值是
15.若不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是
16.是双曲线与椭圆的左、右公共焦点，点是在第一象限的公共点．若，则的离心率是
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）
已知命题：，命题：.
（1）若，求实数的值；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点.
（1） 求双曲线标准方程；
（2） 若点M在双曲线上，分别是双曲线的左、右焦点，且，
求的面积.
19. （本小题满分12分）
如图，已知四棱锥中，平面，，，且，，是的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点D到平面的距离.
18. （本小题满分12分）
已知抛物线C：，直线与抛物线C交于A,B两点.
（1）若直线过抛物线C的焦点，求.
（2）已知抛物线C上存在关于直线对称的相异两点M和N，求的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE =，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使
平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（2）当 取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．
22. （本小题满分12分）
已知椭圆：的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线
与椭圆相交于两点．
（1）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．
新余四中2017-2018学年度下学期高二年级第一段考
数学（理科）参考答案
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
D
A
A
D
A
D
B
C
A
C
10. 【解析】（1）若,设，切线斜率显然存在且不为0，设方程为代入中得到：，所以，故P在直线上；
（2）若P在直线上，设，切线方程为代入得到，所以，故.
11.【解析】方法一：设M(x0，y0)，根据圆的切线知识可得过A，B的直线l的方程为x0x＋y0y＝2，由此得P，Q，故△POQ的面积为×·＝.因为点M在椭圆上，所以＝1≥2·，由此得|x0y0|≤3，所以≥，当且仅当＝时等号成立
方法二：设M，得到AB方程为
，故面积最小值为
二、 填空题
13. 14.9 15. 16.
三、 解答题
17．（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，
由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；....5分
（2）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．.........10分
18.（1）椭圆方程可化为，焦点在轴上，且，
故设双曲线方程为，则有解得，
所以双曲线的标准方程为........6分
（2）因为点 点在双曲线上，又，所以点在双曲线的右支上，
则有，故解得，，又，
因此在中，,
所以....12分
19. （1）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，故，，
，即，
故异面直线与所成角为； ......6分
（2）在平面中，∵，，∴，
∵，∴，由得，
∴，又∵，∴，又∵平面，
∴是平面的一个法向量，所以点D到平面的距离.........12分
20.（1）依题意可知抛物线C的焦点为（），所以，得到；故抛物线方程为.
联立方程，所以.........6分
（2）依题意可知直线垂直平分线段MN， 于是直线MN的斜率为-1，设其方程为，
代入中消去可得到：
设，从而；
故线段MN的中点G（），
又因为G在直线MN：上，
所以，
因为方程有两个相异实根，所以，即，
于是，
故所求的取值范围是.................12分
21.（1）∵平面平面,AE⊥EF,
∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），
E（0， 0，0）∵AD∥面BFC，
所以VA-BFC＝
，即时有最大值为．………………6分
x
y
z
（2）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），
D（0，2，2），F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,
则，即，
取x＝3，则y＝2，z＝1，∴
面BCF的一个法向量为
则cos<>=.
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－ ……12
分
22.（1）设直线，代入中得：.
设，
又F(1，0)，
又
，即直线FA、FB的斜率之和是定值0............6分
（2）设直线，代入中得：.
设，
若,则
即，
将代入并化简得：
，
代入判别式得恒成立，
，
故d的取值范围为...........................................12分