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- 2021-04-17 发布
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复旦大学附属中学2019学年第一学期
高一年级数学期中考试试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知集合，则集合的非空真子集的个数为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据非空真子集个数的计算公式，计算出集合的非空真子集的个数.
【详解】由于集合有个元素，故集合的非空真子集的个数为.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查非空真子集个数的计算，属于基础题.
2.若，，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出和，再由集合的混合运算即可求出结果.
【详解】因为，，
又，所以，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.
3.不等式的解集为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
将原不等式转化为，解方程组求得原不等式的解集.
【详解】原不等式等价于，即，，，解得.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
4.设集合，则下列命题：①，②，②，④中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）.
【答案】①②③④.
【解析】
【分析】
根据集合元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.
【详解】集合，也即集合的元素为两个集合，一个是，另一个是.
对于①，空集是集合的元素，故①正确.
对于②，空集是任何集合的子集，故②正确.
对于③，是集合的元素，故③正确.
对于④，中含有元素，故④正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题.
5.若的定义域为R，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
把的定义域为，转化为在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数的定义域为R，
即在上恒成立，
根据二次函数的性质，则满足，即，解得，
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6.如果全集含有个元素，都是的子集，中含有个元素，含有个元素，含有个元素，则含有__________个元素.
【答案】5.
【解析】
【分析】
根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合的元素个数.
【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合的元素个数为个.
故答案为：.
【点睛】本小题主要集合交集、补集的运算，考查全集的概念，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
7.已知的周长为定值，则它的面积最大值为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.
【详解】设三条边长分别为，其中为斜边长，所以，，，所以，所以，则三角形的面积.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
8.若在区间上为奇函数，则t的取值为________．
【答案】
【解析】
【详解】奇函数的定义域关于原点对称，且区间的右端点不比左端点小，有．
解得．
9.已知不等式解集非空，则实数的取值范围为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用零点分段法，求得的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】令，则，所以，要使不等式解集非空，则需.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查零点分段法去绝对值，考查分段函数的性质，考查存在性问题的求解策略，属于中档题.
10.对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合. 已知集合，，则__________.
【答案】.
【解析】
分析】
解不等式求得集合与集合，根据新定义函数以及新定义集合的概念，求得中的取值范围.
【详解】当时，由两边平方并化简得，即，解得，由于，故的范围是.
当时，恒成立，故的取值范围是.
综上所述，.故①.
由，解得或，故.故②.
要使，由①②可知，.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查新定义函数理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.
11.若实数满足，求的最小值为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
将方程转化为关于的函数，画出函数的图像，根据线性规划的知识，求得的最小值.
【详解】依题意，验证可知，故可化为（，），画出其图像如下图所示.将基准目标函数向上平移到点时，取得最小值为.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查根据方程求线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12.已知时，对任意，有恒成立，则的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件的为方程的根,化简为一元函数,再求取值范围.
【详解】因为对任意，有恒成立，所以为方程的根,即,
因为,所以或，即或.
【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13.命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（ ）
A. 若不正确，则不正确 B. 若不正确，则正确
C. 若正确，则不正确 D. 若正确，则正确
【答案】D
【解析】
【分析】
由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．
【详解】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：
“若q不正确，则p不正确”
其等价命题是它的逆否命题，即
“若p正确，则q正确”
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．
14.已知，则“，”是“不等式”成立的（ ）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
化简不等式为，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.
【详解】不等式等价于.
故当“，”时，，故，即“不等式”成立.
当“不等式”成立时，，可能，故不能推出“，”.
所以“，”是“不等式”成立的充分非必要条件.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.
15.定义在上的偶函数满足对任意，有，则当时，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，由此判断出的大小关系.
【详解】依题意可知，函数满足对任意，有，也即函数在上单调递增，由于为偶函数，故函数在上单调递减.而，且，故，即.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性比较大小，属于基础题.
16.设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意，是的子集；对任意的，不是的子集
B. 对任意，是的子集；存在，使得是的子集
C. 存在，使得不是的子集；对任意的，不是的子集
D. 存在，使得不是的子集；存在，使得是的子集
【答案】B
【解析】
【分析】
先证得是的子集，然后求得使是的子集，由此确定正确选项。
【详解】对于和，由于时，所以的元素，一定是的元素，故对任意，是的子集.
对于和，根据判别式有，即时，，满足是的子集，也即存在，使得是的子集.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.已知集合，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），或；
（2）或或或.
【解析】
【分析】
先求得集合中元素可能取值.
（1）根据，判断出是集合的元素，由此求得的值，进而求得集合，由此确定的值.
（2）根据为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定的取值范围.
【详解】由，解得或.
（1）当，所以是集合的元素，所以，解得，所以.若，此时，符合.若，此时，符合.故，或.
（2）由于，
当时，由判别式得，解得，此时.
当为单元素集时，由判别式得，解得或.当时，，要使，则.当时，，，要使，则.
当为双元素集时，由（1）知，.
综上所述，的取值范围为或或或.
【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
18.设，，且.
证明：(1) ；
(2) 与不可能同时成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析.
【解析】
【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.
(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.
试题解析：
由,,得.
(1)由基本不等式及,有,即
(2)假设与同时成立,
则由及a>0得0