河北省唐山市2020届高三第二次模考数学（文）试题 Word版含解析 20页

- 1 - 唐山市 2019—2020 学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式 得集合 ，再根据集合交集运算即可得答案. 【详解】解：解不等式 得 ，故集合 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算和分式不等式的解法，是基础题. 2. 已知复数 为纯虚数（其中 i 为虚数单位），则实数 （ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数 ， 因为复数 为纯虚数，可得 ，解得 . { }1 0 , 2, 1,0,1,21 xA x Bx  += ≤ = − − −  A B = { 2,2}− { 2, 1,2}− − { 1,0,1}− { 1,0}− 1 01 x x + ≤− { }1 1A x x= − ≤ < 1 01 x x + ≤− 1 1x− ≤ < { }1 0 1 11 xA x x xx  += ≤ = − ≤ < −  { } { } { }1 1 2, 1,0,1,2 1,0A B x x∩ = − ≤ < ∩ − − = − 1 3 aiz i += + a = 3− 1 3 − 1 3 z ( )( ) ( )( ) 1 31 3 3 1 3 3 3 10 10 ai iai a az ii i i + −+ + −= = = ++ + − z 3 0 3 1 0 a a + =  − ≠ 3a = − - 2 - 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力， 属于基础题. 3. 冰雹猜想（也叫 猜想）：任意给出一个正整数 ，如果 是奇数，下一步变成 ； 如果 是偶数，下一步变成 ，依次进行计算，无论 是一个怎样的数字，最终都会回到 数字 1．若给出的数字是 ，当第一次回到数字 1 时，经过的计算次数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意条件，逐步计算，即可得出结果. 【详解】第一步：因为 为偶数，所以计算 ； 第二步：因为 为奇数，所以计算 ； 第三步：因为 为偶数，所以计算 ； 第四步：因为 为奇数，所以计算 ； 第五步：因为 为偶数，所以计算 ； 第六步：因为 为偶数，所以计算 ； 第七步：因为 为偶数，所以计算 ； 第八步：因为 为偶数，所以计算 ，此时第一次回到数字 1，共经过 8 次计算. 故选：C. 【点睛】本题主要考查算法的简单应用，属于基础题型. 4. 已知 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 3 1X + X X 3 1X + X 2 X X 6X = 6X = 32 X = 3 3 1 10X + = 10 52 X = 5 3 1 16X + = 16 82 X = 8 42 X = 4 22 X = 2 12 X = ,x y 2 0 2 1 0 2 0 x y x y x y − + ≥  − + ≤  + − ≤ z x y= − 2− - 3 - 先画出约束条件所对应的可行域，然后转化为截距型确定最大值. 【详解】画出约束条件 所确定的平面可行域如图所示，则目标函数 可化为 ，故当直线 的截距最小时， 最大. 由图可知，当直线 过点 时， 有最大值，联立 得 ，则 的 最大值为 . 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，准确画出约束条件所表示的可行域是解题的关键. 5. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由诱导公式化简 ，得 ，再用二倍角余弦公式求出 . 【详解】由 ，得 ，则 . 故选：A. 2 0 2 1 0 2 0 x y x y x y − + ≥  − + ≤  + − ≤ z x y= − y x z= − y x z= − z y x z= − A z 2 1 0 2 0 x y x y − + =  + − = ( )1,1A z max 1 1 0z = − = 1sin 2 3 πα + = −   cos2 =α 7 9 − 7 9 8 9 − 8 9 1sin 2 3 πα + = −   1cos 3 α = − cos2α 1sin 2 3 πα + = −   1cos 3 α = − cos2 =α 2 2 72cos 1 19 9 α − = − = − - 4 - 【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于容易题. 6. 现有甲、乙、丙、丁 4 名大学生，若将 4 人随机分配到两个单位去实习，要求每个单位两 人，则甲、乙恰好被分到同一单位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据排列、组合以及古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】将 4 人随机分配到两个单位去实习，共有 ， 乙恰好被分到同一单位共有 ， 所以甲、乙恰好被分到同一单位的概率为： . 故选： C 【点睛】本题考查了排列、组合的应用，古典概型的概率计算公式，属于基础题. 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图作出几何体的直观图，然后分析出最长的棱，并根据已知长度计算出最长棱的长 度. 【详解】在棱长为 的正方体中，根据三视图，截取四棱锥 1 6 1 4 1 3 1 2 2 4 6C = 1 1 2 1 2C C⋅ = 2 1 6 3P = = 2 2 10 2 3 2 P ABCD− - 5 - 如图： 根据三视图可的： 根据立体图形可知，最长边为 在 中，根据勾股定理 在 中，根据勾股定理 故该几何体的最长棱的长度 故选：B. 【点睛】本题考查根据几何体的三视图确定出几何体的最长棱，难度较易.已知几何体的三视 图，求解几何体的相关问题时，可通过画出几何体的直观图辅助求解. 8. 函数 的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质，分类讨论，结合导数、零点存在原理进行求解即可. 【详解】当 时， ， 因为 ， 所以函数此时单调递增，而 ， 所以此时函数 有唯一零点； 当 时，令 ， 解得 ， 此时原函数的零点为函数 零点， 1, 2, 2AB PD AD= = = PB Rt ADB 2 2 2 2 22 1 5DB AD AB= + = + = Rt PDB△ 2 2 2 4 5 9PB PD DB= + = + = ∴ 3PB = 3 3( ) | |xf x e x= − 0x ≤ 3( ) xf x e x= + 2' ( 3 0) xf x e x= + > 1 1 0, (0)) 0( 11f e f− − < == >− 3( ) xf x e x= + 0x > 3( 0) xf x e x= − = 3 3lnx xe xx ⇒ == ( ) 3lng x x x= − - 6 - ，因此当 时， ，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， ， ， ， 所以函数在 和 各有一个零点，所以一共有 3 个零点. 故选：C 【点睛】本题考查了求函数零点个数问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力. 9. 已知 为双曲线 的左，右焦点， 为双曲线 的渐近线上一 点，若 为等腰直角三角形，则双曲线 渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 从图形出发，由几何条件求出点 的坐标，代入渐近线方程解 的值即可. 【详解】如图所示，设点 是渐近线 上一点，若 为等腰直角三角形，则 ， 且 ， 则 点 满 足 直 线 方 程 ， 所 以 ， 即 , 故双曲线的渐近线方程为 . 故选：B. ' 3( ) 1g x x = − 3x > ' 3( ) 1 0g x x = − > 3 0x> > ' 3( ) 1 0g x x = − < (3) 3 3ln3 3(1 ln3) 0g = − = − < (1) 1 0g = > (6) 6 3ln 6 3(2 ln 2) 0g = − = − > 3 0x> > 0x > 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > P C 1 2F PF△ C y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2y x= ± P b a P by xa = 1 2F PF△ 2 1 2PF F F⊥ 2 1 2PF F F= ( ),2P c c by xa = 2 bcc a = 2b a = 2y x= ± - 7 - 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解问题，较简单，解答时关键是要从几何条件出发 得出关于 的式子，然后进行化简求值. 10. 已知 为 的导函数，且满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意令 ，求导得 ，结合题意得函数 为 的增函 数，再根据函数单调性比较大小即可得答案. 【详解】解：设函数 ，则 ， 由于 ，所以 ， 所以 ，即函数 为 的增函数， 所以 ，化简得 ，故 C 错误，D 正确； ，化简得 ，故 A,B 错误； 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究抽象函数的单调性，利用单调性比较大小，是中档题. , ,a b c '( )f x ( )f x '( ) ( )xf x f x> 2 (2) (1)f f> 2 (1) (2)f f> 2 ( 2) ( 1)f f− > − ( 2) 2 ( 1)f f− > − ( )f xy x = ( ) ( ) 2 '' xf x f xy x −= ( )f xy x = R ( )f xy x = ( ) ( ) 2 '' xf x f xy x −= '( ) ( )xf x f x> '( ) ( ) 0xf x f x− > ( ) ( ) 2 '' 0xf x f xy x −= > ( )f xy x = R ( ) ( )2 1 2 1 f f− −<− − ( 2) 2 ( 1)f f− > − ( ) ( )2 1 2 1 f f> 2 (1) (2)f f< - 8 - 11. 已知 ，有以下三个命题： ① 为 的一个周期；② 为奇函数；③ 的图象关于直线 对称； 则正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用 与 的关系确定①是否正确，利用 与 是否相等可以判断③是 否正确，根据 可判断 不是奇函数. 【详解】因 ， 则 ，故①错； 又 ，所以 不是奇函数，故②错； 因为 ，则 关于直 线 对称，故③正确. 故选：B. 【点睛】本题考查与三角函数结合的相关函数的周期性、奇偶性以及对称性问题，难度一般. 12. 已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 与 夹角为 ， ，由 ，可得 ，整理 可得 ，根据均值不等式和余弦函数图象，即可求得 与 的夹角的最大值. 【详解】设 与 夹角为 ， 为 2( ) cos sinf x x x= + π ( )f x ( )f x ( )f x 2x π= ( )f x π+ ( )f x ( )f xπ − ( )f x (0) 0f ≠ ( )f x 2 2( ) cos sin sin sin 1f x x x x x= + = − + + ( ) ( ) ( )2 2( ) sin sin 1 sin sin 1f x x x x x f xπ π π+ = − + + + + = − − + ≠ (0) 1 0f = ≠ 2( ) cos sinf x x x= + ( ) ( ) ( )2 2( ) sin sin 1 sin sin 1f x x x x f xx πππ − = − + − + = − + + =− ( )f x 2x π= a b 1a = ( ) ( )3a b a b− ⊥ −    a b 30° 60° 120° 150° a b θ 0 ,180θ ° ° ∈  ( ) ( )3a b a b− ⊥ −    ( ) ( )3 0a b a b− ⋅ − =    cos 44 3 b b θ = +   a b a b θ [ ]0,θ π∈ - 9 - 整理可得： ，即 ，代入 可得 可得： ，即 整理可得： 当且仅当 ，即 取等号 故 ，结合 ， 根据余弦函数图象可知 最大值： 故选：A. 【点睛】本题主要考查了求两个向量夹角最值问题，解题关键是掌握向量数量积公式和根据 均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 若 为等差数列 的前 项和， ， ，则 _________． 【答案】7 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 ，根据题意，求出公差，再由等差数列的通项公式，即可得出结果. 【详解】设等差数列的公差为 ， 因为 ， ， 所以 ，解得： ，  ( ) ( )3a b a b− ⊥ −    ∴ ( ) ( )3 0a b a b− ⋅ − =    ( ) ( )2 2 4 03 a a b b− ⋅ + =    2 2 4 03 a a b b− ⋅ + =     1a = 2 2 4 03 a a b b− ⋅ + =    2 3 4 0a b b− ⋅ + =   2 4 cos3 0a b bθ− + =   2 4 cos 03 b bθ− + =  3cos 24 4 24 3 4 3b b b b θ = + ≥ × =     3 44 b b =   3b = 3cos 2 θ ≥ [ ]0,θ π∈ θ 6 π nS { }na n 1 3a = 5 25S = 5a = d d 1 3a = 5 25S = 1 5 45 252a d ×+ = 1d = - 10 - 因此 . 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查等差数列前 项和的基本量运算，熟记公式即可，属于基础题型. 14. 已知 是椭圆 的右焦点，且 过点 ，则椭圆 的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意得 ，再根据椭圆过点 待定系数求解即可. 【详解】解：因为 是椭圆 的右焦点， 所以 ， 因为椭圆 过点 ， 所以有 ，解得 . 所以椭圆的标准方程为： . 故答案为： 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，是基础题. 15. 在△ 中，角 的对边为 ，若 ，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 5 1 4 7a a d= + = n ( 2,0)F 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > E ( 2,1) E 2 2 14 2 x y+ = 2c = ( 2,1) ( 2,0)F 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 2c = E ( 2,1) 2 2 2 2 2 1 1 2 a b a b  + =  = + 2 22, 4b a= = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 14 2 x y+ = ABC , ,A B C , ,a b c cos 3 sina C c a C b+ = + A = 2 3 π - 11 - 利用正弦定理进行边角互化，然后结合和差角公式求解. 【详解】由 得 ， 又 ，所以 整理得： ，即 ， 则 ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查解三角形，考查利用正弦定理进行边角互化，边角互化之后注意 的代换，难度一般. 16. 在三棱锥 中， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为______. 【答案】 ； 【解析】 【分析】 判断出外接球球心的位置，计算出外接球的半径，由此计算出外接球的体积. 【 详 解 】 设 是 的 中 点 ， 由 于 ， 所 以 是 三 角 形 的 外 心 ， ， 由于 ，则 ， ， ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .由于三角形 是等 边三角形，设 是三角形 的外心，则 也是三棱锥 外接球的球心.设外接球的 半径为 ，根据等边三角形的性质可知 ，所以外接球的表面积为 cos 3 sina C c a C b+ = + sin cos sin 3sin sin sinA C C A C B+ = + ( )sin sinB A C= + ( )sin cos sin 3sin sin sin 3sin sin sin cos cos sinA C C A C A C A C A C A C+ = + + = + + 1 3sin cosA A= + 1sin 6 2A π + =   5 6 6A π π+ = 2 3A π= 2 3 π ( )sin sinB A C= + P ABC− 90BAC∠ = ° 2 2PA PB PC BC= = = = P ABC− 32 3 π 1O BC 90BAC∠ = ° 1O ABC 1 1 1O A O B O C= = 2 2PA PB PC BC= = = = 1PO BC⊥ 1 1PO O A⊥ 1 1BC O A O∩ = 1PO ⊥ ABC 1PO ⊂ PBC PBC ⊥ ABC PBC O PBC O P ABC− r ( ) ( )2 22 2 1 1 2 2 2 22 2 2 63 3 3 3r OP O P PB O B= = = − = − = - 12 - . 故答案为： . 【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积有关计算，属于基础题. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答． （一）必考题：共 60 分． 17. 已知等比数列 的各项均为正，且 ． （1）求数列 通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的通项公式表示 、 ，根据题意列出关于 和公比 的方程组求解； （2）先利用 通项公式确定出 ，再确定出 并求和. 【详解】解：（1）设数列 的公比为 的 的 2 2 2 8 324 4 6 43 3 3r ππ π π = × = × =   32 3 π { }na 1 2 4 212, 72a a a a+ = − = { }na 3 1 1log ,n n n n n b a c b b + = = { }nc n nT 3n na = 11 1 1n nT n n = − =+ + 2a 4a 1a q { }na nb nc { }na q - 13 - 依题意有： 两式相比，整理得 ，解得 或 ． 因为 的各项均为正，所以 ， ， 所以 ． （2） ， ， 所以 ． 【点睛】本题考查等比数列 通项公式求解，考查裂项相消法求和，难度一般.解答的关键在 于求解通项公式，再根据通项公式确定求和方法. 18. 成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位： ），未在此范围的献血志愿者不适 合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者 100 名、女志愿者 100 名， 根据统计数据分别得到如下直方图： 的 1 1 3 1 1 12, 72, a a q a q a q + =  − = ( 1) 6q q − = 3q = 2q = − { }na 3q = 1 3a = 3n na = 3 3l 3log og n n nb a n= == 1 1 1 1 1 ( 1) 1n n n c b b n n n n+ = = = −+ + 1 1 1 1 11 2 2 3 1nT n n = − + − + + − + 11 1 1 n n n = − =+ + mmHg - 14 - （1）根据直方图计算这 200 名志愿者中不适合献血的总人数； （2）估计男志愿者收缩压的中位数； （3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）20 人；（2） ；（3） ． 【解析】 分析】 （1）先根据频率分布直方图求得 ，进而得男志愿者中有 5 人不适合献血， ，进而得女志愿者中有 15 人不适合献血，故这些志愿者中共有 20 人不适合献血； （2）根据频率分布直方图中中位数的定义求解即可； （3）根据频率分布直方图中平均数的计算求解即可. 【详解】解：（1）由 得 ， 故这些男志愿者中有 5 人不适合献血； 由 得 ， 故这些女志愿者中有 15 人不适合献血． 综上所述，这些志愿者中共有 20 人不适合献血． （2）设男志愿者收缩压的中位数为 ，则 ． 由 得 ， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为 ． （3） ， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为 ． 【点睛】本题考查频率分布直方图的相关知识和用频率分布直方图估计中位数和平均数，考 【 115mmHg 125mmHg 0.005m = 0.015n = ( 0.010 0.015 2 0.020 0.030) 10 1m + + + × + × = 0.005m = (0.005 0.010 2 0.020 0.035) 10 1n+ + + + × = 0.015n = (mmHg)x 110 120x< < 0.015 10 0.020 10 ( 110) 0.030 0.5x× + × + − × = 115x = 115(mmHg) 95 0.05 105 0.10 115 0.15 125 0.35 135 0.20 145 0.15 125× + × + × + × + × + × = 125(mmHg) - 15 - 查运算能力，是基础题. 19. 如图，在梯形 中， 平面 ， 平面 ． （1）求证： ； （2） ，求点 到平面 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，先证明 平面 ，进而可得线线垂直； （2）先由题意，得到点 到平面 的距离为 ， ， ， 设点 到平面 的距离为 ，根据等体积法，由 求解，即可得 出结果. 【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 因为 ， 所以 ，则有 ， 因为 平面 平面 ， 所以 ，则有 四点共面． 又 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ． （2）由（1）可知， 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ． ABCD , // , 2 2 2,AB AD AD BC AD AB BC AE⊥ = = = ⊥ ABCD CF ⊥ ABCD CD EF⊥ 2, 3AE CF= = F CDE 3 CD ⊥ ACFE A CDF 2AC = 3 2 2CDFS =  3CDES =  F CDE d F CDE E CDF A CDFV V V− − −= = CF ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD CF CD⊥ 2AD = 1AB BC= = 2 2 22,AC CD AC CD AD= = + = AC CD⊥ AE ⊥ ,ABCD CF ⊥ ABCD //AE CF , , ,A C F E AC CF C∩ = CD ⊥ ACFE EF ⊂ ACFE CD EF⊥ AC ⊥ CDF A CDF 2AC = - 16 - 在 中， ， ， ， 在 中， ， ， ， 设点 到平面 的距离为 ， 由（1）可知， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，所以 由 得， ， 所以 ， 即点 到平面 的距离为 ． 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面积的距离，熟记线面垂直的判定定理与 性质，以及等体积法求线面距离即可，属于常考题型. 20. 已知函数 ，若曲线 与 相交于 ，且 在点 处有相同的切线． （1）求 的值； （2）比较 与 的大小关系． 【 答 案 】（ 1 ） ； （ 2 ） 当 时 ， ； 当 时 ， ；当 时， ． 【解析】 【分析】 （1）由 ，解答 ，再由 ，解得 ，得到答案； （2）由 ，令 ， 利用导数求得函数 的单调性，结合 ，即可求解. 【详解】（1）由曲线 与 相交于 ，可得 ，解答 ， CDF 3CF = 2CD = 3 2 2CDFS =  CDE△ 2CD = 6CE = 3CDES =  F CDE d // ,AE CF CF ⊂ CDF AE ⊄ CDF //AE CDF E CDF A CDFV V− −= F CDE E CDF A CDFV V V− − −= = 1 1 3 3CDE CDFS d S AC⋅ = ⋅   3d = F CDE 3 2( ) ln , ( )f x ax x g x x b= = − ( )y f x= ( )y g x= (1,0)P P ,a b ( )f x ( )g x 2, 1a b= = 0 1x< < ( ) ( )f x g x> 1x = ( ) ( )f x g x= 1x > ( ) ( )f x g x< (1) 0g = 1b = (1) (1) 2f g′ ′= = 2a = 2 1( ) ( ) 2 ln 1 2ln , 0f x g x x x x x x x xx  − = − + = − + >   1( ) 2lnh x x x x = − + ( )h x (1) 0h = ( )y f x= ( )y g x= (1,0)P 2(1) 1 0g b= − = 1b = - 17 - 又由 ，则 ， 依题意可得 ，即 ， 所以 ． （2）由 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递减，又 ， 因此 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 故当 时， ；当 时， ；当 时， ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求参数，以及利用导数求解函数的单调性与最 值及其应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，以及熟练应用导数求得函数的单调性是 解答的关键，着重考查推理与运算能力. 21. 已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 与抛物线 交于点 ．当 的倾斜角为 45°时， ． （1）求抛物线 的方程； （2） ，当 绕点 旋转时，抛物线 上总存在点 ，使得四边形 为平行四 边形（点 在直线 的两侧）． （i）求 的值； （ii）记 的面积为 ，求 的最小值． 【答案】（1） ；（2）（i）1；（ii）1． 【解析】 【分析】 2( ) ln , ( )f x ax x g x x b= = − ( ) (ln 1), ( ) 2f x a x g x x′ ′= + = (1) (1) 2f g′ ′= = 2a = 2, 1a b= = 2 1( ) ( ) 2 ln 1 2ln , 0f x g x x x x x x x xx  − = − + = − + >   1( ) 2lnh x x x x = − + 2 2 2 1 1( ) 1 1 0h x x x x ′  = − − = − −    ( )h x (0, )+∞ (1) 0h = 0 1x< < ( ) (1) 0h x h> = 1x = ( ) (1) 0h x h= = 1x > ( ) (1) 0h x h< = 0 1x< < ( ) ( )f x g x> 1x = ( ) ( )f x g x= 1x > ( ) ( )f x g x< F 2: 2 ( 0)C y px p= > F l C ,A B l | | 4AB = C ( ,0)M m l F C N AMBN ,M N l m AMBN S S 2 2y x= - 18 - （1）依题意，设 ，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理， ，得 的值，即得抛物线 的方程； （2）（i）设 ，与 联立得到韦达定理，设点 ，求出 即得解；（ii）求出 ，即得 的最小值． 【详解】（1）依题意， ，设 ， 当 的倾斜角为 45°时， ， 与 联立得， ，所以 ． 从而 ，解得 ， 所以，抛物线 的方程为 . （2）（i）设 ，与 联立得 ， 所以 ． 设点 ，由题意可得， ； ， 所以 ， 又 在抛物线 上，所以 ， 解得 ． （ii）由（i）得， ， ， 所以 时， 取得最小值为 1． 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦的计算，考查直线和抛物线的位置关系，考查面积的 计算和最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题记分． 22. 在直角坐标系 中，曲线 C： ，直线 l： .以坐标原点 O 为极点， ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2| | 4AB x x p= + + = p C 1: 2l x ty= + 2 2y x= ( )0 0,N x y 2 0 02 1 , 2x t m y t= + − = 22 1AMBS S t= = +  S ,02 pF      ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y l : 2 pl y x= - 2 2y px= 2 2 3 04 px px− + = 1 2 3x x p+ = 1 2| | 4 4AB x x p p= + + = = 1p = C 2 2y x= 1: 2l x ty= + 2 2y x= 2 2 1 0y ty− − = ( ) 2 1 2 1 2 1 22 , 1 2 1y y t x x t y y t+ = + = + + = + ( )0 0,N x y 1 2 0x x x m+ = + 1 2 0y y y+ = 2 0 02 1 , 2x t m y t= + − = N C ( )2 2(2 ) 2 2 1t t m= + − 1m = 1 2 1 22 , 1y y t y y+ = = − ( )2 2 1 2 1 2 1 2 12 | | 4 12AMBS S MF y y y y y y t= = × − = + − = +  0t = S xOy ( )2 21 1x y− + = y x= − - 19 - x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 C 与直线的极坐标方程； （2）已知 P 为曲线 C 上一点， 于 H，求 的最大值. 【答案】（1） ； （ ）:（2）1. 【解析】 【分析】 （1）把 ， 代入曲线 C 与直线的方程化简即可； （2）设 ，由于 是曲线 上的点，得到 ，在 中，根据锐 角三角函数的定义得到 和 的长，进而表示出 ，求得最值即可. 【详解】解：（1）由 ， 得 曲线 C： ，即 ； 直线 l： （ ）. （2）依题意，设 ， ，则 ， 所以 ， ， 因此 . 所以当 ，即 时， 取得最大值 1. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，属于中 PH l⊥ POHS 2cosρ α= 3 4 πθ = ρ ∈R cosx ρ α= siny ρ α= ( ),P ρ α P C 2cosOP α= Rt OPH∆ OH PH POHS cosx ρ α= siny ρ α= 2 2 cos 0ρ ρ α− = 2cosρ α= 3 4 πθ = ρ ∈R ( ),P ρ α 2 2 π πα− < < 2cosOP α= cos 2cos cos4 4OH OP π πα α α   = ⋅ + = ⋅ +       sin 2cos sin4 4PH OP π πα α α   = ⋅ + = ⋅ +       1 2POHS OH PH= ⋅ ⋅△ 22cos cos sin4 4 π πα α α   = ⋅ + ⋅ +       2 2 2cos cos sinα α α= − 2 2 1 12 cos 4 8 α = − −   2cos 1α = 0α = POHS - 20 - 档题. 23. 已知 ， ， . （1）若 ，求证： ； （2）若 ，求 的最小值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用均值不等式计算得到答案. （2）变换得到 ，故 ，代入不等式，整理化简利用均值不等式计 算得到答案. 【详解】（1）因为 ， ，所以 ，由 ，得 ， 故 ， ，当且仅当 时，等号成立. （2）由 得 . . 当且仅当 ，且 时，两个等号同时成立. 即当且仅当 且 ， 的最小值是 . 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换 是解题的关键. x∈R 0y > 2x y xy+ = 0x > 1xy ≥ 0x ≠ 2yx x + 3 2 1 1 2x y + = 1 1 1 2x xx y  = +   0x > 0y > 2x y xy+ ≥ 2x y xy+ = 2 2xy xy≥ 1xy ≥ 1xy ≥ 1x y= = 2x y xy+ = 1 1 2x y + = 2 1 1 1 2 2 322 2 2 2 2 x x xy y yx xx x y x x y x x  + = + + = + + ≥ + ≥   2 2 x y y x = 0x < 1 2x = − 1 4y = 2yx x + 3 2 1 1 2x y + =