2020高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2 3页

函数的表示方法 一、考点突破 能够熟练掌握函数的三种表示方法。‎ 能够根据函数的表达式求函数的值域。‎ 二、重难点提示 求函数的值域的方法。‎ 一、函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三种。 ‎ 定义 优点 缺点 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 对于每一个x都能知道其函数值 定义域中有较多元素时不易表示，不易观察出其变化趋势 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 能表示无限集的定义域的函数，对于每一个x能精确求值 对于复杂的函数求值过程繁琐，不能直接观察其变化趋势 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 变化趋势一目了然 不精确 二、函数值域的相关概念 ‎（1）函数值　‎ 在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值。‎ ‎（2）函数的值域：‎ 我们把函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。‎ ‎2. 基本初等函数的值域 ‎①y＝kx＋b（k≠0）的值域是______。‎ ‎②y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为。‎ ‎③y＝（k≠0）的值域是{y|y∈R且y≠0}。‎ 例题1 求函数y＝x－的值域。‎ 思路分析：利用换元法。‎ 解：令＝t，则t≥0且x＝，‎ 3‎ 于是y＝－t＝－（t＋1）2＋1，‎ 由于t≥0，所以y≤，‎ 故函数的值域是，‎ 答案：函数的值域是。‎ 例题2 求函数 y＝的值域。‎ 思路分析：函数表达式中分子分母同时含有变量，直接求解值域较为困难。通过凑、配等方法，有意识地使得分子变为一个常数，进而研究分母的范围，最终得到函数表达式的值域。‎ 答案：‎ 解：方法一（配方法）‎ ‎∵y＝1－，‎ 又x2－x＋1＝2＋≥，‎ ‎∴0<≤，∴－≤y<1，‎ ‎∴函数的值域为；‎ 方法二（判别式法）‎ 由y＝，x∈R，得（y－1）x2＋（1－y）x＋y＝0，‎ ‎∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1，‎ 又∵x∈R，∴Δ＝（1－y）2－4y（y－1）≥0，‎ 解得－≤y≤1，‎ 综上得－≤y<1，‎ ‎∴函数的值域为。‎ 函数值域的几何意义是对应函数图象上的点的纵坐标的变化范围。利用函数的几何意义，数形结合可求某些函数的值域。‎ ‎【方法提炼】‎ 数形结合求函数的值域 函数值域的几何意义是对应函数图象上的点的纵坐标的变化范围。利用函数的几何意义，数形结合可求某些函数的值域。‎ ‎【满分训练】‎ 求函数y＝的值域。‎ 解析：原函数可化简得：y＝∣x－2∣＋∣x＋8∣‎ 3‎ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（－8）间的距离之和，‎ 由上图可知：当点P在线段AB上时，‎ y＝∣x－2∣＋∣x＋8∣＝∣AB∣＝10‎ 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，‎ y＝∣x－2∣＋∣x＋8∣＞∣AB∣＝10‎ 故所求函数的值域为：[10，＋∞）‎ 答案：所求函数的值域为：[10，＋∞）。‎ 技巧点拨：本题考查函数的图象，函数的值域及数形结合的数学思想。数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。‎ 3‎