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- 2021-04-17 发布
第
1
讲 等差数列、等比数列的基本问题
高考定位
1.
等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点
，
经常以小题形式出现；
2.
数列的通项也是高考热点
，
常在解答题中的第
(1)
问出现
，
难度中档以下
.
真 题 感 悟
1.
(2016·
全国
Ⅰ
卷
)
已知等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
＝
8
，则
a
100
＝
(
)
A.100 B.99 C.98 D.97
答案
C
2.
(2015·
北京卷
)
设
{
a
n
}
是等差数列，下列结论中正确的是
(
)
答案
C
3.
(2015·
全国
Ⅱ
卷
)
设
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且
a
1
＝－
1
，
a
n
＋
1
＝
S
n
S
n
＋
1
，则
S
n
＝
____________.
4.
(2016·
全国
Ⅲ
卷
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
1
＋
λa
n
，其中
λ
≠
0.
考
点
整
合
1.
等差数列
2.
等比数列
3.
求通项公式的常见类型
热点一 等差、等比数列的判定与证明
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
求证：数列
{
b
n
－
a
n
}
为等比数列
.
【训练
1
】
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝
1
，
a
n
≠
0
，
a
n
a
n
＋
1
＝
λS
n
－
1
，其中
λ
为常数
.
(1)
证明：
a
n
＋
2
－
a
n
＝
λ
；
(2)
是否存在
λ
，使得
{
a
n
}
为等差数列？并说明理由
.
热点二 求数列的通项
[
微题型
1]
由
S
n
与
a
n
的关系求
a
n
(2)
(2016·
岳阳二模节选
)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，且
a
n
＋
2
＝
3
S
n
－
S
n
＋
1
＋
3,
n
∈
N
*
.
证明：
a
n
＋
2
＝
3
a
n
；并求
a
n
.
探究提高
给出
S
n
与
a
n
的递推关系求
a
n
，
常用思路是：一是利用
S
n
－
S
n
－
1
＝
a
n
(
n
≥
2)
转化为
a
n
的递推关系
，
再求其通项公式；二是转化为
S
n
的递推关系
，
先求出
S
n
与
n
之间的关系
，
再求
a
n
.
[
微题型
2]
已知
a
n
与
a
n
＋
1
的递推关系式求
a
n
热点三 等差、等比数列的函数性质问题
【例
3
】
(2016·
宜昌
4
月模拟
)
已知等差数列
{
a
n
}
的公差为－
1
，且
a
2
＋
a
7
＋
a
12
＝－
6.
探究提高
(1)
以数列为载体
，考查不等
式的恒成立问题
，此类问题可转化为函数的最值问题
.
(2)
判断数列问题中的一些不等关系
，
可以利用数列的单调性比较大小
，
或者是借助数列对应函数的单调性比较大小
.
(3)
数列的项或前
n
项和可以看作关于
n
的函数
，
然后利用函数的性质求解数列问题
.
1.
在等差
(
比
)
数列中，
a
1
，
d
(
q
)
，
n
，
a
n
，
S
n
五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个
.
解这类问题时，一般是转化为首项
a
1
和公差
d
(
公比
q
)
这两个基本量的有关运算
.
2.
等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用
.
但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形
.