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- 2021-04-17 发布
江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年第二学期高二期中考试
数学试题（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 计算：的值为 ▲ .
2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是 ▲ .
3. 已知，则= ▲ .
4. 已知复数，其中为虚数单位，则的模是 ▲ .
5. 用反证法证明“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ .
6. 用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取 ▲ .
7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.
8. 除以9的余数为 ▲ .
9. 若，则的值为___▲___.
10. 已知不等式，，，照此规律总结出第个不等式为 ▲ .
11. 在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于点，则得到的结论是_ ▲ .
12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.
13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，则 ▲ .
14. 三角形的周长为31，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
已知复数是纯虚数.
（1）求的值；
（2）若复数，满足，求的最大值.
16. （本小题满分14分）
（1）设，求证：；
（2）已知非零实数是公差不为零的等差数列，求证： ．
17. （本小题满分14分）
从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；
（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；
（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；
（4）甲不在第一棒.
18. （本小题满分16分）
已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
（1）求的值；
（2）求展开式中的项；
（3）求展开式中系数最大的项.
19. （本小题满分16分）
已知等差数列的公差d大于0，且是方程的两根，
数列的前n项和为，且
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为,试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明．
20. （本小题满分16分）
已知.
（1）设，求中含项的系数；
（2）化简：；
（3）证明：
2018-2019学年第二学期高二期中考试
数学试题（理科）答案
一、填空：
1. 15 2. 3. 4或6 4. 5. a，b都不能被5整除
6. 5 7. 30 8. 9. 1 10. 11. 12. 420 13. 3974 14. 24
二、解答题：
15. 解:(1)复数
是纯虚数.
,计算得出.
的值是1..........................................................................................8分
(2)由(1)可以知道:.设.
,,,
.
可以知道:,.
的最大值为
3................................................................................14分
注：法二：用复数的几何意义
16.
（1）由……4分
因为所以
所以………………………7分
（2）（反证法）假设，
则． ①
而． ②
由①②，得，即，
于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，
故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分
17. 解：（1）60 ………………………3分
(2)480 ………………………6分
(3)180 ………………………10分
(4)1470 ………………………14分
（16分）
（10分）
（16分）
（10分）
18
19. 解 (1)由已知得
因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，所以a2＝3，a5＝9.
所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1. ………………………2分
因为Tn＝1－bn，所以b1＝.
当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，
所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－1－bn－1，
化简得bn＝bn－1，
所以{bn}是首项为，公比为的等比数列，
即bn＝·n－1＝.
所以an＝2n－1，bn＝. ………………………6分
(2) 因为Sn＝×n＝n2，
所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝.
下面比较与Sn＋1的大小：
当n＝1时，＝，S2＝4，所以S5. ………………………8分
猜想：n≥4时，＞Sn＋1. ………………………9分
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，>Sk＋1，即＞(k＋1)2， …………………10分
那么，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3
＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1> k2＋4k＋4 =[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1 …14分
所以当n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．
由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，Sn＋1. ………………………16分
20. 解：（1）由
所以中含项的系数为：
………………………3分
（2）通项为 ………………………5分
………………………10分
(如采用组合恒等式证明相应给分)