山东专用2021版高考数学一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件 66页

第六章 不等式　 第二讲　一元二次不等式及其解法 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　一元二次不等式的解法 (1) 将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 ________ 零的不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a >0) 或 ax 2 ＋ bx ＋ c <0( a >0) ． (2) 计算相应的 __________. (3) 当 ________ 时，求出相应的一元二次方程的根． (4) 利用二次函数的图象与 x 轴的 ________ 确定一元二次不等式的解集． 大于　 判别式　 Δ ≥0 　 交点　 两相异 两相等 没有 x > x 2 或 x < x 1 x ≠ x 1 R x 1 < x < x 2 ∅ ∅ 题组一　走出误区 1 ． ( 多选题 ) 下列命题正确的是 ( 　　 ) A ．若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，则必有 a >0 B ．若方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0) 没有实数根，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 的解集为 R C ．不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ≤0 在 R 上恒成立的条件是 a <0 且 Δ ＝ b 2 － 4 ac ≤0 D ．若二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象开口向下，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 的解集一定不是空集 AD 题组二　走进教材 2 ． ( 必修 5P 80 A 组 T4 改编 ) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － x － 6>0} ，则 ∁ R A 等于 ( 　　 ) A ． { x | － 2< x <3} 　　 B ． { x | － 2≤ x ≤3} C ． { x | x < － 2}∪{ x | x >3} 　　 D ． { x | x ≤ － 2}∪{ x | x ≥3} B 5 ． (2020 · 湖北黄冈元月调研 ) 关于 x 的不等式 ax ＋ b >0 的解集是 (1 ，＋∞ ) ，则关于 x 的不等式 ( ax ＋ b )( x － 2)<0 的解集是 ( 　　 ) A ． ( －∞， 1) ∪(2 ，＋∞ ) 　　 B ． ( － 1,2) C ． (1,2) 　　 D ． ( －∞，－ 1)∪(2 ，＋∞ ) C 考点突破 • 互动探究 角度 1 　不含参数的不等式 考点一　一元二次不等式的解法 —— 多维探究 例 1 解一元二次不等式的一般步骤 (1) 化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2) 判：计算对应方程的判别式． (3) 求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4) 写：利用 “ 大于取两边，小于取中间 ” 写出不等式的解集． 角度 2 　含参数的不等式 　解下列关于 x 的不等式： (1) ax 2 － ( a ＋ 1) x ＋ 1<0( a ∈ R ) ； (2) x 2 － 2 ax ＋ 2 ≤ 0( a ∈ R ) ； 例 2 含参数的不等式的求解往往需要分类讨论 (1) 若二次项系数为常数，若判别式 Δ ≥ 0 ，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论 ( 分点由 x 1 ＝ x 2 确定 ) ；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若 Δ <0 ，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论 ( 分点由 Δ ＝ 0 确定 ) ． (2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式． (3) 解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零． (4) 解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于 1 分类求解，注意对数的真数必须为正． C 考点二　三个二次间的关系 —— 师生共研 B 例 3 A [ 引申 ] 若不等式 x 2 ＋ ax － 2<0 在区间 [1,5] 上有解，则 a 的取值范围是 __________. ( －∞， 1) 已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例 (2) 中对应的二次函数图象过点 (0 ，－ 2) ． A A 已知 f ( x ) ＝ mx 2 － mx － 1. (1) 若对于 x ∈ R ， f ( x )<0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2) 若对于 x ∈ [1,3] ， f ( x )< － m ＋ 5 恒成立，求实数 m 的取值范围； (3) 若对于 | m |≤1 ， f ( x )<0 恒成立，求实数 x 的取值范围． [ 分析 ] 　 (1) 二次项系数含有字母 m ，应分 m ＝ 0 和 m ≠0 讨论求解； (2) 数形结合，分类讨论； (3) 把二次不等式转化为含 m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解． 考点三　一元二次不等式恒成立问题 —— 师生共研 例 4 〔 变式训练 3〕 (1) 若不等式 ( a － 3) x 2 ＋ 2( a － 3) x － 4<0 对一切 x ∈ R 恒成立，则实数 a 取值的集合为 ( 　　 ) A ． ( －∞， 3) 　　 B ． ( － 1,3) 　　 C ． [ － 1,3] 　　 D ． ( － 1,3] (2) (2020 · 山西忻州第一中学模拟 ) 已知关于 x 的不等式 x 2 － 4 x ≥ m 对任意的 x ∈(0,1] 恒成立，则有 ( 　　 ) A ． m ≤ － 3 　　 B ． m ≥ － 3 C ．－ 3≤ m <0 　　 D ． m ≥ － 4 D A (3) 已知对于任意的 a ∈ [ － 1,1] ，函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( a － 4) x ＋ 4 － 2 a 的值总大于 0 ，则 x 的取值范围是 ( 　　 ) A ． { x |1< x <3} 　　 B ． { x | x <1 或 x >3} C ． { x |1< x <2} 　　 D ． { x | x <1 或 x >2} B 名师讲坛 • 素养提升 一元二次方程根的分布 　　　　　 　　　 　　　　 　 若关于 x 的一元二次方程 ( m － 1) x 2 ＋ 2( m ＋ 1) x － m ＝ 0 ，分别满足下列条件时，求 m 的取值范围 (1) 一根在 (1,2) 内，另一根在 ( － 1,0) 内， (2) 一根在 ( － 1,1) ，另一根不在 ( － 1,1) 内 (3) 一根小于 1 ，另一根大于 2 (4) 一根大于－ 1 ，另一根小于－ 1 (5) 两根都在区间 ( － 1,3) (6) 两根都大于 0 (7) 两根都小于 1 (8) 在 (1,2) 内有解 例 5 ( － 2,1)