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- 2021-04-17 发布
福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考
命题
高二集备组
审核
高二集备组
数 学 试 卷
（满分：150分 完卷时间：120分钟，）
班级 姓名 座号
准考证号 ．
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项）
1.如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为( )
A. B．－2 C．－ D.
2．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( ) A．y＝3sin x B．y＝3sin 2x C．y＝3sinx D．y＝sin 2x
3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
3
4
5
6
2.5
4
4.5
A．3 B．3.5 C．4.5 D．2.5
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585
5.的展开式中含项的系数为( )
A．30 B．70 C．90 D．150
6将名同学录取到所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ）
A． B． C． D．
7.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于 ( )
A. B. C. D.
8. 设随机变量X的分布列如下
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)=,则D(X)等于 ( )
A. B. C. D.
9.已知，，，，…，，则推测（ ）
A．109 B．1033 C.199 D．29
10.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种.
（10题图）
A. 120 B. 260 C. 340 D. 420
11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（ ）
A． 60 B.120 C.240 D.360
12．已知，若存在，使得能成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13.已知X服从二项分布B（n,p）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数
n= ，,p= .
14.已知三个正态分布密度函数
（，）的图象如图所示,
的大小关系是 ；的大小关系是 .
15.已知椭圆的面积计算公式是，则_______.
16.设函数
则方程的根为 .
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)
某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.
18. （本题满分12分）
全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民人、女性市民人进行调查,得到以下的列联表：
支持
反对
合计
男性
女性
合计
（1）根椐以上数据，能否有的把握认为市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？
（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出名发放礼品，分别求所抽取的15人中男
性市民和女性市民的人数；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的位市民中持“支持”态度人数为.
①求的分布列；
②求的数学期望和方差.
参考公式：，其中
参考数据：
19. （本题满分12分）
元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.
（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.
（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.
20. （本题满分12分）
近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．
图1 图2
（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；
（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：
5.5
8.7
1.9
301.4
79.75
385
①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．
附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；
②参考数据：．
21. (本题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，设函数有唯一零点，求的值.
22.（本小题满分10分）
已知在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标是,曲线的极坐标方程为.
（1）求点 的直角坐标和曲线的直角坐标方程；
（2）若经过点的直线与曲线交于两点，求的最小值.
命题
高二集备组
审核
高二集备组
福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考
数 学 试 卷
（满分：150分 完卷时间：120分钟，）
班级 姓名 座号 准考证号 ．
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项）
1.如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为( C )
A. B．－2 C．－ D.
2．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(A )
A．y＝3sin x B．y＝3sin 2x C．y＝3sinx D．y＝sin 2x
3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ A ）
3
4
5
6
2.5
4
4.5
A．3 B．3.5 C．4.5 D．2.5
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ B ）
（A）0.1588 （B）0.1587 （C）0.1586 （D）0.1585
5.的展开式中含项的系数为(B )
A．30 B．70 C．90 D．150
6将名同学录取到所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ C ）
（A） （B） （C） （D）
7.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于 ( C )
A. B. C. D.
8. 设随机变量X的分布列如下
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)=,则D(X)等于 (D )
A. B. C. D.
9.已知，，，，…，，则推测（A ）
A．109 B．1033 C.199 D．29
10.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种.
（8题图）
A. 120 B. 260 C. 340 D. 420
11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（C ）
A． 60 B.120 C.240 D.360
12．已知，若存在，使得能成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13.已知X服从二项分布B（n,p）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数n,p的值分别为6 * ，0.4 * .
14.已知三个正态分布密度函数（，
）的图象如图所示,的大小关系是
* ；
的大小关系是 * .
15.已知椭圆的面积计算公式是，则_______.
16.设函数
则方程的根为 .
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本题满分12分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.
17. 解：（1）第二组的频率为，
所以高为．频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以．
第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．
（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人． 随机变量服从超几何分布．
，，
，．
所以随机变量的分布列为
0
1
2
3
∴数学期望
18.全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民人、女性市民人进行调查,得到以下的列联表：
支持
反对
合计
男性
女性
合计
（1）根椐以上数据，能否有的把握认为市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？
（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出名发放礼品，分别求所抽取的15人中男
性市民和女性市民的人数；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的位市民中持“支持”态度人数为.
①求的分布列；
②求的数学期望和方差.
参考公式：，其中
参考数据：
18.解：（1）由列联表可得
K2=.
所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关.
（2）依题意可知，所抽取的15位市民中,男性市民有15（人），女性市民有（人）.
（3）（i）由列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为.
由于总体容量很大，故X可视作服从二项分布，即，所以.
从而X的分布列为：
X
0
1
2
3
（10分）
（ii）E（X）=np=;
D（X）=np（1-p）=.
19. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.
（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.
（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.
19.试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件，则，故所求概率．
（2）若选择方案一，则需付款（万元）．
若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，
，
， ，
故的分布列为
6
7
8
10
所以（万元）（万元），
所以选择第二种方案根划算．
20．（1）；（2）①，②万元.
【解析】分析：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为 ，则．
（2）①由得，即关于的线性回归方程为． 其中， 则关于的线性回归方程为，据此可得
②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为，则该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.
详解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为
所以．
（2）①由得，即关于的线性回归方程为．
因为，
所以关于的线性回归方程为，
即关于的回归方程为
②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为
所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为
万元.
点睛：本题主要考查非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21. (本题满分12分)已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，设函数有唯一零点，求的值.
21.解：（Ⅰ）由题可知函数为
…………………………………1分
①当时，在上恒成立
此时函数在上单调递增 …………………………………2分
②当时，令，则或（舍去）
当时，， 当时，
此时函数在上单调递减，在上单调递增 …………………………4分
（Ⅱ）由题可知， .
令，即，
因为，所以 (舍去)， . …………5分
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增， …………………………6分
所以的最小值为. …………………………………7分
因为函数有唯一零点，所以， …………………………………8分
由即 …………………………………9分
可得，因为，所以，
设函数，因为当时该函数是增函数，
所以至多有一解. …………………………………10分
因为当时，， …………………………………11分
所以方程的解为，即，解得. …………………………12分
（22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
（1），；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由，，可得点的直角坐标，由可得，从而得，化简即得曲线的直角坐标方程；（2）设直线的倾斜角是，则的参数方程变形为,代入,得,设其两根为 ，则，从而，当时, 取得最小值.
试题解析：（1）点的直角坐标是,,即,
化简得曲线的直角坐标方程是.
（2）设直线 的倾斜角是，则的参数方程变形为,代入,得,设其两根为 ，
则,当时, 取得最小值.
考点：1、参数方程；2、坐标变换；3、一元二次方程根与系数的关系．