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- 2021-04-17 发布
阆中中学校2019年秋高2018级期中教学质量检测数学
试题（理科）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1.过点，且斜率为2的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线的点斜式计算出直线方程.
【详解】因直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选
【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.
2.已知圆与圆外切，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
因为两圆相外切，故圆心距为半径之和，故可得的关系.
【详解】因为两圆相外切，故圆心距为半径之和，
故即，故选A.
【点睛】本题考查两圆的位置关系，注意利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系来判断不同的位置关系，此类问题属于基础题.
3.已知圆，则通过原点且与圆相切的直线方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因原点在圆上，求出原点与圆心连线的斜率后可得切线的方程.
【详解】因为，故，所以，
所以切线的斜率为，故切线方程为，选C.
【点睛】过一点作圆的切线，求其方程时，要注意该点是否在圆上，如果在圆上，则可以求出其与圆心的连线的斜率的负倒数后可求切线的方程，如果该点不在圆上，则可以利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，注意不要遗漏斜率不存在的情形.
4.已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.
详解：因为直线与直线平行，
所以，又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.
5.已知实数满足，则的最大值是
A. B. C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
作出线性约束条件表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解目标函数的最大值，得到答案.
【详解】由题意，作出线性约束条件表示的可行域，如图所示，
表示三角形阴影部分区域（含边界），
设直线，平移直线时，目标函数取得最大值，
又由，解得，
此时目标函数的最大值为.
故选C.
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
6.点到点的距离相等，则x的值为( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，结合空间中两点的距离公式可知，点到点的距离相等，则有则可知x的值为1，选B.
考点：空间中两点的距离公式
点评：解决的关键是理解到两个点距离相等的点在其垂面上，属于基础题。
7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入，分别为2，8，则输出的等于（）
A. 4 B. 0
C. 2 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图逐步分析即可得出a的值。
【详解】由题a=2，b=8：且，则b=8-2=6；此时a=2，b=6： 且，则b=6-2=4；此时a=2，b=4：且，则b=4-2=2；此时a=2，b=2：a=b，输出a=2，故选C.
【点睛】本题考查程序框图，属于基础题。
8.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由过圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，可知最长弦为直径，最短弦为过点且与直径垂直。把圆变形标准方程。进而可求圆心为，半径。所以，由点，求得。进而求得。进而可求四边形的面积为。
详解：圆变形为。
所以圆心为，半径。
因为点，所以
因为过圆内点的最长弦和最短弦分别为和，
所以， 。且
所以四边形的面积为 。
故选B。
点睛：⑴过圆内一点A的最长弦为过点A的直径，最短弦为过点A且与过点A的直径垂直的弦；
⑵ 过圆P内一点A的最短弦长为。
9.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
分析】
根据框图模拟程序运算即可.
【详解】第一次执行程序，，，继续循环，
第二次执行程序，，，，继续循环，
第三次执行程序，，，，继续循环，
第四次执行程序，，，，继续循环，
第五次执行程序，，，，跳出循环，输出，结束.故选C.
【点睛】本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题.
10.已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案．
【详解】解：直线过定点，
，，
直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是．
故选：．
【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．
11.若圆上恰有3个点到直线的距离为1，,则与间的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆上有个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离为，由此列方程求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得与间的距离.
【详解】由于圆的圆心为，半径为，且圆上有个点到直线的距离为，故到圆心到直线的距离为，即，由于，故上式解得.所以.由两平行直线间的距离公式有，故选D.
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查两平行直线间的距离公式，属于基础题.
12.设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
直线与坐标轴的交点分别是、，所以三角形的面积，
原式，故选
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.点关于点的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用中点坐标计算公式求解.
【详解】设，因为的中点是，所以，解得：，所以.
【点睛】本题考查空间中一个点关于另一个点的对称点，难度较易.处理对称点的问题，可以采用中点坐标计算解决问题.
14.若过点(1，2)总可以作两条直线与圆相切，则实数k的取值范围是______________．
【答案】【答案】
【解析】
若表示圆，则，解得
，又因为过圆外一点可以作两条直线与圆相切，所以点在圆外，
所以，所以或，综上所述，实数的取值范围是或.
点睛：本小题主要考查圆的一般方程和点与直线的位置关系，考查学生的转化能力和运算求解能力；本小题容易只求出或，而忘记先要保证是一个圆，所以解题时一定要严谨.
15.设x，y满足约束条件，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先画出可行域，根据表示可行域内的点到定点的距离的平方，即可求出最小值。
【详解】作出不等式组表示的可行域为一个三角形区域（包括边界），
表示可行域内的点到定点的距离的平方，
由图可知，该距离的最小值为点到直线的距离，
故.
【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。
16.在下列四个命题中，正确的命题的有__________________.
①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10;
②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则 ；
③若实数满足的取值范围为 ；
④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7.
【答案】②③.
【解析】
因为直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，所以 ，所以①错；
因为圆心到直线距离为 ，所以 ，②对；
令 ，所以 ，③对
|MN|的最大值是 , ④错
点睛：与圆有关最值或值域问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值或值域问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点有关代数式的最值或值域的常见类型及解法．①形如型的最值或值域问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值或值域问题；②形如型的最值或值域问题，可转化为动直线的截距的最值或值域问题；③形如型的最值或值域问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值或值域问题．
三、解答题（17题10分，其余每小题11分，卷面分5分，共计70分）
17.已知直线，与直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数；
（2）根据平行时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数（注意是否重合）.
【详解】（1）
（2）或
时，重合，舍去，所以.
【点睛】已知直线：
（1）若两直线垂直，则有：；
（2）若两直线平行，则有：且.
18.平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）5
【解析】
【分析】
（1）写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.
【详解】（1）直线的斜率，则边上高所在直线斜率，
则边上的高所在的直线方程为，即.
（2）的方程为，.
点到直线的距离，
，
则的面积
【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.
19.某企业生产、两种产品，生产每产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤
电
已知生产产品的利润是万元，生产产品的利润是万元.现因条件限制，企业仅有劳动力个，煤，并且供电局只能供电，则企业生产、两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
【答案】当生产种产品，种产品时，企业获得最大利润，且最大利润为万元.
【解析】
【分析】
设该企业生产种产品，种产品，获得的利润为万元，根据题意列出关于、的约束条件以及线性目标函数，利用平移直线法得出线性目标函数取得最大值的最优解，并将最优解代入线性目标函数即可得出该企业所获利润的最大值.
【详解】设该企业生产种产品，种产品，获得的利润为万元，目标函数为.
则变量、所满足的约束条件为，作出可行域如下图所示：
作出一组平行直线，当该直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即（万元）.
答：当生产种产品，种产品时，企业获得最大利润，且最大利润为万元.
【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20.已知中，，，求：
（1）直角顶点的轨迹方程；
（2）直角边的中点的轨迹方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，求得和，根据垂直关系可知斜率乘积为，根据三个顶点不共线，可知，从而得到轨迹方程；（2）设，，利用中点坐标公式用，表示出点坐标，代入（1）中轨迹方程整理可得结果.
【详解】（1）设，则：，
，即：
化简得：.
不共线
故顶点的轨迹方程为：
（2）设，，由（1）知：……①
又，为线段的中点
，，即，
代入①式，得：
故的轨迹方程为：
【点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直线的位置关系得到点满足的方程，或利用动点坐标表示出已知曲线上的点的坐标，代入已知曲线得到轨迹方程；易错点是忽略已知中的限制条件，未排除特殊点.
21.已知圆外有一点，过点作直线.
(1)当直线与圆相切时，求直线方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.
【答案】(1) 或(2) .
【解析】
【详解】试题分析：(1)当斜率不存在时，直线的方程为，当斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，可求得，则直线方程可求；(2)由直线的倾斜角求得斜率，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再由垂径定理求得直线被圆所截得的弦长.
试题解析：(1)当斜率不存在时，直线的方程为；
当斜率存在时，设直线的方程为，
则，解得，所以方程为，
所以直线的方程为或.
(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
，所求弦长为.
22.已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点，若直线与圆C相交于M，N两点，且为锐角，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
本题考查圆的标准方程的求法以及用向量解决直线和圆位置关系中的角度的问题。（1）设出圆的标准方程，根据题意得关于参数的方程组，求得参数可得圆的方程。（2）利用代数法求解，将为锐角转化为求解。
试题解析：
（1）设圆C的标准方程为：
故由题意得，解得，
∴圆C 的标准方程为：.
（2）由消去y整理得
.
∵直线与圆C相交于M，N两点，
∴，
解得，
设，
则.
∴
依题意得
，
∴，
整理得，
解得或.
又，
∴或。
故实数m的取值范围是.
点睛：
（1）对于为锐角的问题（或点A在以BC为直径的圆外，或），都可转化为，然后坐标化，转化为代数运算处理。
（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理。解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度。