山西省临汾市2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷 8页

理科数学 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知圆 M：x2+y2=1 与圆 N：（x-2）2+y2=9，则两圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 2、体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( ) A. B. C. D. 3、已知 , 是相异两平面,m,n 是相异两直线,则下列命题中不正确的是 ( ) A. 若 , ,则 B. 若 , ,则 C. 若 , ,则 D. 若 , ,则 4、如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 5、如图,在正方体 中,下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 6、如图正方形 OABC 的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形 的直观图,则原图形的面积为( ) A. B. 1 C. D. 7、如图甲所示，在正方形 ABCD 中，EF 分别是 BC、CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为 H， 如图乙所示，那么，在四面体 A-EFH 中必有（ ） A. 所在平面 B. 所在平面 C. 所在平面 D. 所在平面 8、在正方体 中,M、N 分别为棱 BC 和棱 的中点,则 异面直线 AC 与 MN 所成的角为 A. B. C. D. 9、正方体的纸盒展开如图,则直线 AB、CD 在原正方体的位置关系是 ( ) A. 平行 B. 垂直 C. 相交成 角 D. 异面且成 角 10、正方体 中, 与平面 所成角的正弦值 为 ． A. B. C. D. 11、已知圆的方程为 ,过点 的该圆的所有弦中,最短弦的长为 A. B. 1 C. 2 D. 4 12、若直线 被圆 截得弦长为 4,则 的最小值 是 A. 9 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13、在空间直角坐标系中,点 和点 的距离为 ,则实数 m 的值为_____ 14、已知圆（x-1）2+y2=4 上一动点 Q，则点 P（-2，-3）到点 Q 的距离的最小值为______ 15、圆心在直线 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 ,则圆 C 的标准方程为 16、对于直线 和平面 ,有如下四个命题： 若 , ,则 ； 若 , , ,则 ； 若 , ,则 ； 若 , , ,则 ． 其中正确命题的序号为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分 17 题 10 分其余 12 分） 17、已知圆 C： ,直线 l： ． 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切； 当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 时,求直线 l 的方程． 18、已知某几何体的三视图如图所示,俯视图是正方形,正视图和侧视图都是底面边长为 6,高 为 4 的等腰三角形． 求该几何体的体积 V； 求该几何体的表面积 S． 19、如图所示,在三棱柱 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC, , 的中点, 求证： 面 ABC； 平面 平面 BCHG． 20、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD ⊥ 平面 PDC，AD ∥ BC，PD ⊥ PB， AD＝1，BC＝3， CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥ 平面 PBC； (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值． 21、如图,在三棱锥 中, , , , ,D 为线段 AC 的中点, E 为 线段 PC 上一点． 求证： ； 求证：平面 平面 PAC； 当 平面 BDE 时,求三棱锥 的体积． 22、如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF ⊥ 平面 ABCD， 点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2． （1）求二面角 O-EF-C 的正弦值； （2）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= HF， 求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值． 理科数学答案 1.C 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A 7.A. 8.B 9.D 10.B 11.C.12.A 13.2 14 . 223  15. 16. (2)(4) 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17 解：将圆 C 的方程 配方得标准方程为 , 则此圆的圆心为 ,半径为 2． 若直线 l 与圆 C 相切, 则有 , 过圆心 C 作 ,则根据题意和圆的性质, , 或 7． 故所求直线方程为 或 ． 18.解：由三视图得该几何体是正四棱锥 ,如图所 示： 其中 平面 ABCD,E 是 BC 的中点, 正视图和侧视图都是底面边长为 6,高为 4 的等腰三角 形, , , , 则 , 该几何体的体积 ； 是 BC 的中点, 该几何体的表面积 ． 19【答案】证明： 在三棱柱 中, E,F,G,H 分别是 AB,AC, , 的中点, , 平面 ABC, 平面 ABC, 面 ABC． 在三棱柱 中, E,G 分别是 AB, 的中点, , 四边形 是平行四边形, ,又 平面 BCHG, 平面 BCHG, 平面 BCHG, 在三棱柱 中, E,F 分别是 AB,AC 的中点, ,又 平面 BCHG, 平面 BCHG, 平面 BCHG, 又 , , 平面 , 平面 平面 BCHG． 20.Ⅰ解：如图, 由已知 , 故 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成 的角． 因为 平面 PDC, 平面 PDC, 所以 ． 在 中,由已知,得 , 故 ． 所以,异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 ．Ⅱ证明：因为 平面 PDC,直线 平面 PBC, 所以 ． 又因为 ,所以 , 又 , ,PB, 平面 PDC, 所以 平面 PBC．Ⅲ解：过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连接 PF, 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角． 因为 平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影, 所以 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角． 由于 , , 所以四边形 ABFD 为平行四边形, 故 BF , 由已知,得 ． 因为 平面 PDC,直线 平面 PDC, ,故 BC , , 21.【答案】解： 证明：由 , , 平面 ABC, 平面 ABC,且 , 可得 平面 ABC, 由 平面 ABC, 可得 ； 证明：由 ,D 为线段 AC 的中点, 可得 , 由 平面 ABC, 平面 PAC, 可得平面 平面 ABC, 又平面 平面 , 平面 ABC,且 , 即有 平面 PAC, 平面 BDE, 可得平面 平面 PAC； 平面 BDE, 平面 PAC, 且平面 平面 , 可得 , 又 D 为 AC 的中点, 可得 E 为 PC 的中点,且 , 由 平面 ABC, 可得 平面 ABC, 可得 , 则三棱锥 的体积为 ． 22(1)解：建立如图所示的坐标系 ,则 , 0, , , 0, , , , 设平面 CEF 的法向量为 y, , 则 ,取 0, 平面 OEF, 可取平面 OEF 的法向量为 0, , , 二面角 的正弦值为 ； (2)解： , , , , 设 b, , 则 b, ,0, , , , , 直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 , ​ ．