中考数学第一轮复习导学案等腰三角形与直角三角形 12页

- 1 - 等腰三角形与直角三角形 ◆课前热身 1.如图，等边△ABC 的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP＝1，D 为 AC 上一点，若∠APD＝ 60°，则 CD的长为（ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 1 2 D． 3 4 2.如图，已知△ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC 边上的高 AD＝8， 则边 BC 的长为（ ） A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30º，腰长为 4 cm，则其腰上的高为 cm． 4.如图，在边长为1 的等边△ABC 中，中线 AD 与中线 BE 相交于点 O，则 OA长度为 ． 【参考答案】 1. B 2. A 3. 23 4. 3 3 A C D B 第 2 题图 A D C P B 第 1 题图 60° - 2 - ◆考点聚焦 等腰三角线 1．等腰三角形的判定与性质． 2．等边三角形的判定与性质． 3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题． 直角三角形 1．运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的 实际问题． 2．运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形． 3．折叠问题． 4．将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用． ◆备考兵法 等腰三角线 1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角 的计算问题，并要注意分类讨论． 2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质． 3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合 解决实际问题． 直角三角形 1．正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数． 2．在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）•来解决 问题，实现几何问题代数化． 3．在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30°，45°，60°）．若 有，则应运用一些相关的特殊性质解题． 4．在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，•常常通过作高转化为直角三角形来 解决． 5．折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥 空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路． ◆考点链接 一．等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角__________； - 3 - 2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_________． 二．等边三角形的性质与判定： 1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质； 2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于 60°的 _______三角形是等边三角形． 三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________． 2. 直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．； 4. 勾股定理：_________________________________________． 5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． ◆典例精析 例 1（湖北襄樊）在 ABC△ 中， 12cm 6cmAB AC BC D  ， ， 为 BC 的中点，动点 P 从 B 点出发，以每秒 1cm 的速度沿 B A C的方向运动．设运动时间为t ，那么当t  秒时，过 D 、 P 两点的直线将 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的 2 倍． 【答案】7 或 17 【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点 P 在 BA 上时，BP＝t，AP ＝12-t，2（t+3）＝ 12-t+12+3，解得 t＝7；②当点 P 在 AC 上时， PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3）， 解得 t＝17，故填 7 或 17. 例 2（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中 4AB  米， 30BAC°， 90C °，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ． 【答案】（2+2 3 ）米． 【解析】掌握 30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解. B C A 30° - 4 - 例 3（四川乐山）如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则 sinB 等于（ ） A． 5 13 B．12 13 C． 3 5 D． 4 5 【答案】 A 【解析】由 AD⊥DC，知△ADC 为直角三角形． 由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5， 在△ACB 中，∵AB2=169，BC2+AC2=52+122=169， ∴AB2=BC2+AC2． 由勾股定理的逆定理知：△ABC 是直角三角形． ∴sinB= AC AB = ． 例 4（安徽）已知点 O 到△ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OB=OC． （1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证：AB=AC； （2）如图 2，若点 O 在△ABC 的内部，求证：AB=AC； （3）若点 O 在△ABC 的外部，AB=AC 成立吗？请画图表示． 图 1 图 2 解析 （1）过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥AC，E，F 分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又 OB=OC． ∴Rt△OEB≌Rt△OFC． ∴∠B=∠C． ∴AC=AB． （2）过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥AC，E，F 分别是垂足．由题意知，OE=OF． 在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中，OE=OF，OB=OC． ∴Rt△OEB≌Rt△OFE． ∴∠OBE=∠OCF． 又 OB=OC． ∴∠OBC=∠OCB． - 5 - ∴∠ABC=∠ACB． ∴AC=AB． （3）不一定成立． 当∠A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 AB=AC，否则 AB≠AC，•如示 例图． 成立 不成立 【点拨】本例从 O 点的特殊位置（BC 边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点 探究一般位置（点 O 在△ABC 内，点 O 在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从 不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力． ◆迎考精练 一、选择题 1.(四川达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的 四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面 积是（ ） A．13 B．26 C．47 D．94 2.（甘肃白银）如图，⊙O 的弦 AB＝6，M 是 AB 上任意一点， 且 OM 最小值为 4，则⊙O 的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3.（山东济宁）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个 小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角 形的两条直角边的长分别是 2 和 4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域（含边线）的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 1 5 D． 1 10 - 6 - 4.（浙江嘉兴）如图，等腰△ABC 中，底边 aBC  ，A＝36°， ABC 的平分线交 AC 于 D，BCD 的平分线交 BD 于 E，设 2 15 k ， 则 DE＝（ ） A． ak 2 B． ak 3 C． 2k a D． 3k a 5.（湖北恩施）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20， 点 B 离点C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） A．5 21 B．25 C．10 5 5 D．35 6.（浙江宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7.（山东威海）如图，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD 的度数是（ ） A． 20 B．30 C．35 D． 40 8.（湖北襄樊）如图，已知直线 110AB CD DCF ∥ ，∠ ，且 AE AF ，则 A∠ 等于（ ） A．30 B． 40 C．50 D．70 二、填空题 1.（四川泸州）如图，已知 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝ 4，过直角顶点 C 作 CA1⊥AB，垂足为 A1，再过 A1 作 A1C1⊥BC，垂足为 C1，过 C1 作 C1A2⊥AB，垂足为 A2，再过 A2 作 A2C2⊥BC，垂足为 C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段 CA1，A1C1， 12CA，…，则 A F B C D E B A D C A D C E B 第 4 题图 5 20 15 10 C A B - 7 - CA1＝ ，  55 54 CA AC 2.(四川内江)已知 Rt△ABC 的周长是 344  ，斜边上的中线长是 2，则 S△ABC＝___. 3.（四川宜宾）已知：如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边 AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ． A BC E F H 第12题图 4. （ 湖南长沙）如 图 ， 等 腰 ABC△ 中， AB AC ， AD 是 底 边 上 的 高 ， 若 5cm 6cmAB BC， ，则 AD  cm． 三、解答题 1.（河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点 O 是 AD、BC 的交点，点 E 是 AB 的中点．试 判断 OE 和 AB 的位置关系,并给出证明． 2.（浙江绍兴）如图，在 ABC△ 中， 40AB AC BAC  ， °，分别以 AB AC， 为边作 A C D B - 8 - 两个等腰直角三角形 ABD 和 ACE ，使 90BAD CAE    °． （1）求 DBC 的度数； （2）求证： BD CE ． 3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的 恩施大峡谷 ()A 和世界级自然保护区星斗山 ()B 位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧， 50kmAB A ， 、B 到直线 的距离分别为10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一 服务区 P ，向 A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ AP 与直线 垂直，垂足为 ）， 到 、 的距离之和 1S PA PB，图（2）是方案二的 示意图（点 关于直线 的对称点是 A，连接 BA 交直线 于点 ）， 到 、 的距 离之和 2S PA PB． （1）求 1S 、 2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明 2S PA PB的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标 系， 到直线 的距离为30km ，请你在 X 旁和Y 旁各修建一服务区 、Q ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值． - 9 - 4.（广东中山）如图所示， ABC△ 是等边三角形， D 点是 AC 的中点，延长 BC 到 E ， 使CE CD ， （1）用尺规作图的方法，过 点作 DM BE ，垂足是 M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： BM EM ． 【参考答案】 选择题 B A P X 图（1） Y X B A Q P O 图（3） B A P X A 图（2） - 10 - 1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. B 7. B 8. B 【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵ 110AB CD DCF ∥ ，∠ ， 所以 110EFB DCF     ， ∴ 70AFE   ， ∵ AE AF ，∴ 70E AFE     ， ∴ 40A  ，故选 B 填空题 1. 5 12 ， 4 5 2. 8 3. 2 9 4. 4 解答题 1. OE⊥AB． 证明：在△BAC 和△ABD 中， AC BD BAC ABD AB BA       ∴△BAC≌△ABD． ∴∠OBA=∠OAB, ∴OA=OB． 又∵AE=BE, ∴OE⊥AB． 2. 解：（1）Δ ABD 是等腰直角三角形， 90°BAD ， ∴∠ABD＝45°,AB＝AC, ∴∠ABC＝70°, ∴∠CBD＝70°+45°＝115°． - 11 - 证明：(2)AB＝AC, 90BAD CAE    °,AD＝AE, ∴Δ BAD≌Δ CAE, ∴BD＝CE． 3. 解:⑴图（1）中过 B 作 BC⊥AP,垂足为 C,则 PC＝40,又 AP＝10, ∴AC＝30 在 Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40 ∴ BP＝ 24022  BCCP S1＝ 10240  ⑵图 10（2）中，过 B 作 BC⊥AA′垂足为 C，则 A′C＝50， 又 BC＝40 ∴BA'＝ 41105040 22  由轴对称知：PA＝PA' ∴S2＝BA'＝ 4110 ∴ 1S ﹥ 2S (2)如 图 10（2），在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA'，由轴对称知 MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小 （3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A', 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B'， 连接 A'B',交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求 过 A'、 B'分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G, A'B'＝ 55050100 22  ∴所求四边形的周长为 55050  P X B AQ Y B' A' - 12 - 4. 解：（1）作图见下图， （2） ABC△ 是等边三角形， D 是 AC 的中点， BD 平分 ABC （三线合一）， 2ABC DBE   ． CE CD ， CED CDE   ． 又 ACB CED CDE    ， 2ACB E   ． 又 ABC ACB   ， 22DBC E    ， DBC E   ， BD DE． 又 DM BE ， BM EM． A C B D E M