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- 2021-04-17 发布
扶余市第一中学2017—2018学年度上学期期末考试
高 二 数 学 理 科
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。
第I卷 （选择题60分）
注意事项
1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1． 某班有学生人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为的样本，已知座位号号，号，号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是( )
A． B． C． D．
2. 化为二进制的数为（ ）
A． B． C． D．
3. 在对普通高中学生某项身体素质的测试中，测试结果服从正态分布()，若在内取值的概率为，则在内取值的概率 ( )
A． B． C． D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．随机变量满足，则其方差的关系为
B．回归分析中，的值越小，说明残差平方和越小
C．残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域宽度越窄，
回归方程的预报精度越高
D．回归直线一定过样本点中心
5．执行如图所示的程序框图,则输出n的值是( )
A． B． C． D．
（5题图）
6.随机变量的分布列为则的值为( ) A． B． C． D．
7.两名实习生每人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一件是一等品的概率为（ ）
A. B. C． D.
8.在正方形内随机生成个点，其中在正方形内切圆内的点共有个，利用随机模拟的方法，估计圆周率的近似值为（ ）
A. B. C． D.
9.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（ ）项
A． B． C． D．
10.掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为”为事件A，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件B，则,分别为（ ）
A． B． C． D．
11. 在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位男生，位女生，如果位女生不能连着出场，且男生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ）
A. B. C． D.
12.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，若，，则的值可以是（ ） A. B. C． D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.
13．设为随机变量，，若随机变量的数学期望,则=_______．
14．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”此文阐述求两个数的最大公约数的重要方法“更相减损术”。小明同学在使用“更相减损术”求98与63的最大公约数时，计算过程第三步不小心破损导致过程不完整，“（）（ ）（ ）......”小明同学计算过程中破损处应填写________．
15．的展开式的系数是 ．
16．由数字0，1，2，3，4，5组成有且只有2个数字相同的三位数，一共有______ 个．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如表：
1
2
3
4
12
28
42
56
（1） 在图中画出表中数据的散点图；
（2） 建立关于的回归方程，预测第几年的销售量约为万件？．
(附注：参考数据：．回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．)
18． （本小题满分12分）
年龄不低于45岁的人
年龄低于45岁的人
合计
赞成
10
不赞成
3
合计
随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式，某机构对使用微信交流的态度进行了调查，随机调查了50人，进行了问卷调查,得到如下列联表：
已知在这50人中随机抽取1人，抽到年龄低于45岁的人的概率为
(1)请将上述列联表补充完整；
(2)判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异？
0.15
0．10
0.05
0.01
2.072
2.706
3.841
6.635
附：
19． （本小题满分12分）
随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．
（1） 若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；
（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求的分布列和数学期望．
20． （本小题满分12分）
2017年《诗词大会》火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出60人的成绩（满分100分）作为样本，对这60名学生的成绩进行统计，并按，，，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1） 根据样本数据，估计参加这次知识竞赛学生成绩的中位数、平均分；（结果保留一位小数）
（2） 若规定60分以上（含60分）为及格，用频率估计概率，从参赛的全体学生中抽取3名，记其中成绩及格的人数为，求的分布列与数学期望．
21． （本小题满分12分）
在正三棱柱中，点，分别是棱，上的点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
19． （本小题满分12分）
椭圆的左右焦点分别为,且离心率为，点为椭圆上一动点，面积最大值为．
（1） 求椭圆方程；
（2） 若曲线的方程为，过点的直线与曲线相切，求直线被椭圆截得的线段长的最小值．
高 二 数 学 理 科 答 案
一、选择题：ADDBB,BBCBA,DC
二、填空题：
13. 14. 35-28=7 15. 16. 75
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）作出散点图如图：
(2)由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，说明与的具有比较好的线性相关关系，
∴可以用线性回归模型拟合与的关系．
，，，，，
，，
故关于的回归直线方程为， 当时，解得
所以第5年的销售量约为71万件．
18.（1）年龄低于45岁的人为人，由题意可得列联表如下：
年龄不低于45岁的人
年龄低于45岁的人
合计
赞成
10
27
37
不赞成
10
3
13
合计
20
30
50
（2） 因为观测值为
所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异．
19.解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，
则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，[]
则.
（2）的取值为0,1,2,
分布列为：
0
1
2
20. 解：（1）中位数：73.3分；平均分为72.5分。
（2） 随机抽出一名学生的成绩为及格的概率为0.8
分布列为：
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
21.（Ⅰ）证明：取线段的中点，取线段的中点，连接，，，则，
又，∴是平行四边形，故．
∵，平面平面，平面平面，∴平面，而，
∴平面，∵平面，
∴平面平面．
（Ⅱ）以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的一个法向量，
则有即
令，则，
设平面的一个法向量，
则有即
令，则，
设二面角的平面角，因为为锐角，
则．
22. 解：因为椭圆的离心率为
又因为面积最大值为，则P为椭圆的短轴端点，所以
，则椭圆方程为