数学文卷·2018届云南省玉溪一中高二下学期期中考试（2017-04） 11页

玉溪一中2016—2017学年下学期高二年级期中考 文科数学试卷 ‎ 命题人:张国林 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．已知集合,若，则（ ）‎ A．2 B．1 C．-1 D．-2‎ ‎2. 已知为虚数单位，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，从第2天起每天比前一天多织尺布,则一月（按30天计）共织( )尺布.‎ ‎ A.250 B.300 C.360 D. 390‎ ‎5.某区实验幼儿园对儿童记忆能力与识图能力进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力 ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为，当江小豆同学的记忆能力为12时，‎ 预测他的识图能力为（ ） ‎ ‎ A．9 B．9.5 C． 10 D．11.5‎ ‎6．为得到的图象，只需要将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎7．某程序框图如右图，该程序运行后输出的值是( )‎ A.3 B.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎8. 命题“为假命题”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎9. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10．对于大于的自然数的三次幂，可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是59， 则的值为( 　)‎ A．6 B．7 C.8 D．9 ‎ ‎11.已知是双曲线（）上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． 2 B． C. D．‎ ‎12．定义域为的函数，对任意都有，且其导函数 满足，则当时，有（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 已知平面向量，若，则 . ‎ ‎14.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ ‎ 曲线相交于点，则弦的长为___________． ‎ ‎15．设数列的前项和为.若,,‎ 则 . ‎ ‎16.过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为3，则弦的长度为____________. ‎ 三、解答题（本大题共六小题，共70分.解答应写出必要的演算步骤和文字说明。）‎ ‎17．(本小题满分10分)已知函数. ‎ ‎（I）解不等式； ‎ ‎（II）若，且，求证：. ‎ ‎18. (本小题满分12分)在中，分别是角的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎0.01‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎0.02‎ ‎170‎ ‎0.08‎ ‎175‎ ‎0.04‎ ‎180‎ ‎185‎ ‎190‎ 男生身 高(cm)‎ ‎0.01‎ ‎150‎ ‎155‎ ‎0.02‎ ‎160‎ ‎0.06‎ ‎165‎ ‎0.04‎ ‎170‎ ‎175‎ 女生身 高(cm)‎ ‎19. (本小题满分12分)某中学为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（左图）和女生身高情况的频率分布直方图（右图）．已知左图中身高在170~175cm的男生人数有16人.‎ ‎ ‎ ‎（I）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？‎ ‎（II）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（用百分数表示）的把握认为“身高与性别有关”？‎ 总计 男生身高 女生身高 总计 ‎（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170~175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率.‎ 参考数据：‎ ‎20．(本小题满分12分)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求该几何体的体积.‎ ‎21．(本小题满分12分) 已知倾斜角为60的直线过点和椭圆 的右焦点，且椭圆的离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）过点的直线与椭圆相交于两点，若以线段 为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线的方程.‎ ‎22. (本小题满分12分)设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 玉溪一中高2018届2016—2017学年下学期期中考试 文科数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．已知集合,若，则（ A ）‎ A．2 B．1 C．-1 D．-2‎ ‎2. 已知为虚数单位，则复数（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，，若，则（ C ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，从第2天起每天比前一天多织尺布,则一月（按30天计）共织( D )尺布.‎ ‎ A.250 B.300 C.360 D. 390‎ ‎5.某区实验幼儿园对儿童记忆能力与识图能力进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力 ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为，当江小豆同学的记忆能力为12时，‎ 预测他的识图能力为（ B ） ‎ ‎ A．9 B．9.5 C． 10 D．11.5‎ ‎6．为得到的图象，只需要将的图象（ D ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎7．某程序框图如右，该程序运行后输出的k值是( B )‎ A.3 B.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎8. 命题“为假命题”是“”的（　C　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10．对于大于的自然数的三次幂，可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则的值为( C　)‎ A．6 B．7 C.8 D．9 ‎ ‎11.已知是双曲线（）上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是（ C ）‎ A． 2 B． C. D．‎ ‎12．定义域为的函数，对任意都有，且其导函数 满足，则当时，有（　A　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 已知平面向量，若，则 . ‎ ‎14.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ ‎ 曲线相交于点，则弦的长为_______________． ‎ ‎15．设数列的前项和为.若,,则 . 54‎ ‎16.过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为3，求弦的长度为____________. ‎ 三、解答题（本大题共六小题，共70分.解答应写出必要的演算步骤和文字说明。）‎ ‎17．已知函数。 ‎ ‎（I）解不等式； ‎ ‎（II）若，且，求证：. ‎ ‎【解】（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=， ‎ 当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5； ‎ 当﹣3≤x≤1时，f（x）³8不成立； ‎ 当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3． ‎ 所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}． ‎ ‎（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|， 因为|a|＜1，|b|＜1，‎ 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， ‎ 所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立． ‎ ‎18.在中，分别是角的对边，且 ‎（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的面积．‎ 解:（Ⅰ）由得2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，‎ ‎ ∴cos(A＋C)＝－，∴cos B＝，又0＜B＜π，∴B＝ .‎ ‎ （Ⅱ）由余弦定理，得cos B＝＝，∴＝，‎ ‎ 又a＋c＝，b＝，∴－2ac－3＝ac，ac＝，‎ ‎ ∴S△ABC＝acsin B＝××＝. ‎ ‎0.01‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎0.02‎ ‎170‎ ‎0.08‎ ‎175‎ ‎0.04‎ ‎180‎ ‎185‎ ‎190‎ 男生身 高(cm)‎ ‎0.01‎ ‎150‎ ‎155‎ ‎0.02‎ ‎160‎ ‎0.06‎ ‎165‎ ‎0.04‎ ‎170‎ ‎175‎ 女生身 高(cm)‎ ‎19. 某中学为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（左图）和女生身高情况的频率分布直方图（右图）．已知左图中身高在170~175cm的男生人数有16人。‎ ‎ ‎ ‎（I）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？‎ ‎（II）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（用百分数表示）的把握认为“身高与性别有关”？‎ 总计 男生身高 女生身高 总计 ‎（Ⅲ ‎）在上述80名学生中，从身高在170~175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率。‎ 参考数据：‎ 解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm的男生的频率为，‎ 设男生数为，则，得．‎ 由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40．‎ ‎（Ⅱ）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列二列联表：‎ ‎≥170cm ‎<170cm 总计 男生身高 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女生身高 ‎4‎ ‎36‎ ‎40‎ 总计 ‎34‎ ‎46‎ ‎80‎ ‎，有99．9％的把握认为身高与性别有关；（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有人．按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人． 设男生为，女生为．从5人任选3名有:‎ ‎,共10种可能， ……10分 ‎3人中恰好有一名女生有:‎ 共6种可能，故所求概率为 ‎20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求该几何体的体积。‎ ‎【解】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE． ‎ ‎（Ⅱ）割补法可得 ‎21．已知倾斜角为60的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）过点的直线与椭圆相交于两点，若以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线的方程.‎ 解： （I）∵直线的倾斜角为60∴直线的斜率为，又∵直线过点 ‎∴直线的方程为 ‎ ‎∵，∴椭圆的焦点为直线与轴的交点 ‎∴椭圆的焦点为∴，又∵∴ ，∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，‎ 联立直线与椭圆的方程，得 ‎ ‎ 由题意可知,即 ‎∴‎ 整理得： ‎ ‎∴，解得 ‎ 代入 所以直线的方程为 ‎ ‎22. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：(Ⅰ) ，．‎ ‎(Ⅱ)，设，，‎ ‎，在上单调递增，，‎ 在上单调递增，．‎ ‎（Ⅲ）设，，‎ ‎ (Ⅱ) 中知，，，‎ ‎①当即时，，在单调递增，，成立．‎ ‎②当即时，，‎ ‎，令，得，当时，，在上单调递减，不成立．综上，． ‎