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- 2021-04-17 发布
专题16 坐标系与参数方程（高考押题）
2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破
1．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
2．已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
(2)将(t为参数)代入②式，
得t2＋5＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(a>0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
4．已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P，若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．
解：(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝，
∴ρsin＝.
曲线C2化为＋＝1.(*)
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式，
得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6，
∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.
(2)∵M(，0)，N(0，1)，所以P，
∴OP的极坐标方程为θ＝，
把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.
把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.
∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈0，2π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数，t∈R)的距离最短，并求出点D的直角坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.
∵ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)∵直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)，]
t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.
∵曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，
曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行，
即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，
即×(－)＝－1.①
∵x＋(y0－1)2＝1，②
由①②解得x0＝－或x0＝，
∴点D的直角坐标为或.
由于点D到直线y＝－x＋5的距离最短，
∴点D的直角坐标为.
6．已知曲线C1：ρ＝2和曲线C2：ρcos＝，则C1上到C2的距离等于的点的个数为________．
解析 将方程ρ＝2与ρcos＝化为直角坐标方程得x2＋y2＝(2)2与x－y－2＝0，知C1为以坐标原点为圆心，半径为2的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为，故满足条件的点的个数为3.
答案 3
7．在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点个数为________．
8．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0，2)．又易知点A的直角坐标系为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.
答案 2
9．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．
解析 依题意知，点M的直角坐标是(2，2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.
答案 2
10．在平面直角坐标系下，曲线C1：(t为参数)，
曲线C2：(θ为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是________．
解析 曲线C1的直角坐标方程为x＋2y－2a＝0，
曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2，
若曲线C1，C2有公共点，
则有圆心到直线的距离≤2，
即|a－1|≤，
∴1－≤a≤1＋，
即实数a的取值范围是1－，1＋]．
答案 1－，1＋]
11．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
12．已知点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．
解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x＋2)2＋y2＝1，
圆心为(－2，0)，半径为1.
设＝k，则直线y＝kx，
即kx－y＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，
即|2k|＝，平方得
4k2＝k2＋1，k2＝，解得k＝±，
由图形知k的取值范围是－≤k≤，
即的取值范围是.
答案
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(θ为参数)．
(1)将C1的方程化为普通方程；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交点的极坐标．
14．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．
解 (1)C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，C2：＋＝1.
曲线C1为圆心是(－2，1)、半径是1的圆．
曲线C2为中心是坐标原点、焦点在x轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆．
(2)曲线C2的左顶点为(－4，0)，则直线l的参数方程为(s为参数)，
将其代入曲线C1整理可得：s2－3s＋4＝0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1＋s2＝3，s1s2＝4.
所以|AB|＝＝＝.
15．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
解 (1)y2＝2ax，y＝x－2.
16．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cos θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．学@
解：(1)∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x，即＋y2＝.
(2)设P(2cos α，sin α)，易知C2，
∴|PC2|
＝
＝
＝，
当cos α＝时，|PC2|取得最小值，
|PC2|min＝，
∴|PQ|min＝.
17．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．
解：(1)由ρcos＝2，得ρ(cos θ＋sin θ)＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
由
得C的普通方程为＋y2＝1.
(2)在曲线C：＋y2＝1上任取一点P(cos θ，sin θ)，
则点P到直线l的距离为
d＝ ＝≤3.
∴曲线C上的点到直线l的最大距离为3.
18．在直角坐标平面内，直线l过点P(1，1)，且倾斜角α＝.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
19．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．
解：(1)根据题意得，
曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，
设点P(x′，y′)，Q(x，y)，
根据中点坐标公式，得
代入x2＋y2－4y＝12，
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，
(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤＝1，即≤1，
解得0≤a≤.
∴实数a的取值范围为.
20．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.
(1)求曲线C的参数方程；
(2)当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，
可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，
化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
曲线C的参数方程为
(φ为参数)．
(2)当α＝时，直线l的方程为
化成普通方程为y＝x＋2.
由
解得或
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为，(2，π)．
21．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
(2)将(t为参数)代入y2＝2ax，
整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
设t1，t2是该方程的两根，
则t1＋t2＝2 (4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，
∵|MN|2＝|PM|·|PN|，
∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，
∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，
∴a＝1.