高二数学人教选修1-2同步练习：2-1-1合情推理（二）word版含解析 5页

2.1.1 合情推理(二) 一、基础过关 1．下列推理正确的是 ( ) A．把 a(b＋c)与 loga(x＋y)类比，则有 loga(x＋y)＝logax＋logay B．把 a(b＋c)与 sin (x＋y)类比，则有 sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把 a(b＋c)与 ax＋y 类比，则有 ax＋y＝ax＋ay D．把 a(b＋c)与 a·(b＋c)类比，则有 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2．下面几种推理是合情推理的是 ( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，归纳出所有三角形的内角 和都是 180°； ③张军某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分； ④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和是 540°，由此得凸多边形 内角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③ C．①②④ D．②④ 3．在等差数列{an}中，若 an<0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn} 中，若 bn>0，q>1，则下列有关 b4，b5，b7，b8 的不等关系正确的是 ( ) A．b4＋b8>b5＋b7 B．b5＋b7>b4＋b8 C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b5>b7＋b8 4．已知扇形的弧长为 l，半径为的 r，类比三角形的面积公式：S＝底×高 2 ，可推知扇形面 积公式 S 扇＝________. 5．类比平面直角坐标系中△ABC 的重心 G( x ， y )的坐标公式 x ＝x1＋x2＋x3 3 y ＝y1＋y2＋y3 3 (其中 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4， y4，z3)为顶点的四面体 A—BCD 的重心 G( x ，y ， z )的公式为________． 6．公差为 d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn 是{an}的前 n 项和，则数列 S20－S10，S30－S20，S40 －S30 也成等差数列，且公差为 100d，类比上述结论，相应地在公比为 q(q≠1)的等比数列 {bn}中，若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积，则有_____________________________________． 二、能力提升 7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________． ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行． 8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质 中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． 9．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若 l1 与抛物线交于 P、Q 两点，l2 与抛物线交于 M、N 两点，l1 的斜率为 k，某同学已正确求得弦 PQ 的中 点坐标为(p k2 ＋p，p k)，请你写出弦 MN 的中点坐标：________. 10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中 一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a2 4 .类比到空间，有 两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分 的体积恒为________． 11．如图(1)，在平面内有面积关系S△PA′B′ S△PAB ＝PA′ PA ·PB′ PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证 明你的结论． 12. 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c 分别为 角 A，B，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． 三、探究与拓展 13．已知在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，有 1 AD2 ＝ 1 AB2 ＋ 1 AC2 成立．那么在四面体 A－BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由． 答案 1．D 2．C 3．A 4.1 2lr 5. x ＝x1＋x2＋x3＋x4 4 y ＝y1＋y2＋y3＋y4 4 z ＝z1＋z2＋z3＋z4 4 6.T20 T10 ，T30 T20 ，T40 T30 也成等比数列，且公比为 q100 7．② 8．①②③ 9．(pk2＋p，－pk) 10.a3 8 11．解 类比S△PA′B′ S△PAB ＝PA′ PA ·PB′ PB ， 有VP—A′B′C′ VP—ABC ＝PA′ PA ·PB′ PB ·PC′ PC 证明：如图(2)：设 C′，C 到平面 PAB 的距离分别为 h′，h. 则h′ h ＝PC′ PC ， 故VP—A′B′C′ VP—ABC ＝ 1 3·S△PA′B′·h′ 1 3SPAB·h ＝PA′·PB′·h′ PA·PB·h ＝PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC . 12．解 如图所示，在四面体 P－ABC 中，设 S1，S2，S3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA， △ABC 的面积，α，β，γ依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ. 13．解 类比 AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体 A－BCD 中，AB，AC，AD 两两垂直， AE⊥平面 BCD.则 1 AE2 ＝ 1 AB2 ＋ 1 AC2 ＋ 1 AD2.猜想正确． 如图所示，连接 BE，并延长交 CD 于 F，连接 AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD， ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， ∴ 1 AE2 ＝ 1 AB2 ＋ 1 AF2. 在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴ 1 AF2 ＝ 1 AC2 ＋ 1 AD2. ∴ 1 AE2 ＝ 1 AB2 ＋ 1 AC2 ＋ 1 AD2 ， 故猜想正确．