- 438.50 KB
- 2021-04-17 发布
数学理科
一． 选择题（共 12 小题,每题 5 分）
1.设集合U＝{x|1≤x≤10，x∈Z}，A＝{1,3,5,7,8}，B＝{2,4,6,8}，则(∁UA)∩B＝( )
A．{2,4,6,7} B．{2,4,5,9} C．{2,4,6,8} D．{2,4,6，}
2.已知，则（ ）
A． B． C． D．
3.函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2]
4.用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B． C． D．
5..已知是偶函数,且在(0, + )上单调递增，则函数可以是
A. = B.= C. = D. f(x) = +
6.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，
则产品的正品率为( )
A．1－a－b B．1－ab C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
7.已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
8.给出下列命题：
①命题“若b2－4ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题；
④“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋(m＋3)≥0的解集为R”的逆命题；
其中真命题的序号为( )
A．①②③④ B．①②④
C．②④ D．①②③
9.已知函数f(x)＝，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－
10.已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
11.已知x，y的取值如表所示：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则的值等于( )
A．2.6 B．6.3
C．2 D．4.5
12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
二．填空题（共4题，每题5分）
13.命题“∃x0∈R, ”为假命题，则实数a的取值范围是________．
14.若随机变量的分布列为，则
15.定义在上的函数，如果，则实数a的取值范围为________．
16.点P(1，0)到曲线(t为参数，t∈R)上的点的最短距离为________．
三．解答题 （共6道题 17题10分 其余各题12分 满分70分）
17.已知复数，求复数在复平面内对应的点，到点的距离
18..在极坐标系中,直线的极坐标方程为．以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为,（为参数）．
（1）请写出直线的参数方程;
（2）求直线与曲线交点的直角坐标．
19.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
20.某公司为了提高某产品的收益，向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地区的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），且拟定一个合理的收益标准（百万元），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（2）根据频率分布直方图，若该公司想使的地区的销售收益超过标准（百万元），估计的值；
（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益（单位：百万元）
2
3
2
5
7
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，计算关于的回归方程．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
(20题的图）
21.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
22.为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．
(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
16
女
6
14
总计
30
(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
(3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
数学答案
一． 选择题：1-6 DDBBBC 7--12 CAABAA
二． 填空题：13. 14. 15.（1，） 16. 1
三. 解答题:
17.因为，复数在复平面内对应的点为，
到点的距离为
18.1）因为直线的极坐标方程为,
以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,
则直线的直角坐标方程为①
所以,,
则直线的参数方程为（为参数）.
（2）又因为曲线的参数方程为,（为参数）.
所以,则曲线的直角坐标方程为②,
联立①②解方程组得或,
根据的取值范围,舍去.故点的直角坐标为.
19.1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（1）知
．
20.
【解析】解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，故；（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，，，，，，，，，，，，
，
由估计值是百万元，
得，
解得：，（7分）
（Ⅲ）由题意可知，，
，
，
，
根据公式，可求得，
，
即回归直线的方程为．（12分）
21.【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1) =．
所以，事件A发生的概率为．
22.
1)2×2列联表如下：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
(2)假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得
k2＝≈1.157 5<2.706.
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．
(3)喜欢运动的女志愿者有6人，从中抽取2人，有C＝15种取法．
其中两人都不会外语的只有一种取法．
故抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是P＝1－＝.