- 774.00 KB
- 2021-04-17 发布
绝密★启用前
2017-2018 学年度第一学期期中考试卷
高二数学（理科）
考试时间：120 分钟；满分 150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题; 共 60 分）
一、选择题（共 12 题，每题 5 分共 60 分）
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）．
A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱
2.如果直线 a⊂平面α，直线 b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l⊂α B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
3.已知向量 =（1，x，-3）， =（2，4，y），且 // ，那么 x+y 等于（ ）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
4． 为空间任意一点，若 ，则 四点 ( )
A. 一定不共面 B. 一定共面 C. 不一定共面 D. 无法判断
5．长方体的一个顶点上三条棱的长分别是 3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，
则这个球的表面积是( )
A.π B．25π C．50π D．200π
6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中 B′O′＝C′
O′＝1，A′O′＝
3
2，那么原△ABC 是一个( )．
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
7．直线 被圆 所截得的弦长等于 ，则 的值为 （ ）
A、-1 或-3 B、 C、1 或 3 D、 8．
8. 已知空间向量 =（1，n，2）， =（-2，1，2），若 与 垂直，则 等于（ ）
A. B. C. D.
9．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，则该三棱锥的
侧视图可能为( )．
10．下列命题中错误．．的是（ ）
A.如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么
B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
C.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
D.如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
11．如图，四面体 中， ，且 ， 分别是 的中点，
则 与 所成的角为（ ）
A. B. C. D.
12．圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是
A．36 B. 18 C. D.
第 II 卷（非选择题 ;共 90 分）
二、填空题（共 4 题，每题 5 分共 20 分）
13 ． 已 知 ， 点 在 轴 上 ， 且 ， 则 点 的 坐 标 为
____________.
14．长方体 中， ，则 与平面 所
成的角的大小为
15．已知在长方 ABCD 中， ,点 是边 上的中点，则 __________．
16．如图所示，正方体 的棱长为 1，
分 别 是 棱 的 中 点 ， 过 直 线 的 平 面 分 别 与 棱
交于 ，恰出以下四个命题：
① 平 面 一 定 为 矩 形 ； ② 平 面 平 面
；
③当 为 的中点时， 的面积最小；
④四棱锥 的体积为常数.
以上命题中正确命题的序号为__________.
三、解答题（共 6 题，70 分）
17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
18．已知圆经过 两点，并且圆心在直线 上。
(1)求圆的方程；
(2)求圆上的点到直线 的最小距离。
19．已知曲线是与两个定点 A（－4，0），B（2，0）距离比为 2 的点的轨迹，求此曲线的
方程
20.如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，F，F1 分别是 AC，A1C1 的中点．
求证：(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF；
(2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
21．在直三棱柱 中， ∠ACB=90°
Ｍ是 的中点，Ｎ是 的中点。
（１）求证：MN∥平面 ；
（２）求点 到平面 BMC 的距离。
22．如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF∥DE，DE=3AF， BE
与平面 ABCD 所成角为 60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角 F-BE-D 的余弦值；
（Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF，
并证明你的结论．
2017-2018 学年度第一学期期中考试卷
高二数学（理科）答案
一、选择题：1-5CAABC 6-10ACDCD 11-12BC
二、填空题：13 0 0 3，， . 14.
6
15. 4 16．②③④
三、计算题：17 解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体，上半部
分是半径为 1 m 的半球．
(1)几何体的表面积为 S＝1
2
×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m2)．
(2)几何体的体积为 V＝23＋1
2
×4
3
×π×13＝8＋2π
3 (m3)．
18. 【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图
形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。
试题解析：
（1）设圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F ，
由已知条件有
2 2
2 2
2 5 2 5 0
{ 2 1 2 0
1
2 2 2
D E F
D E F
E D
，
解得
4
{ 2
11
D
E
F
所以圆的方程为 2 2 4 2 11 0,x y x y
2 22 1 16x y 即 .
（2）由（1）知，圆的圆心为 2,1 ，半径 r=4,
所以圆心到直线3 4 23 0x y 的距离 22
3 2 4 1 23 5
3 4
d
则圆上点到直线3 4 23 0x y 的最小距离为 1d r 。
19. 设 M（x,y）是曲线上任意点，点 M 在曲线上的条件是 MA
MB =2
则
2 2
2 2
( 4)
( 2)
x y
x y
=2
整理得(x－4) 2 +y 2 =16
所求曲线是圆心为(4,0)，半径为 4 的圆
.20. 证明：(1)在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
∵F，F1 分别是 AC，A1C1 的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.
(2)在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1.
又 B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1⊂平面 AB1F1，
∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
21. （1）如图所示，取 B1C1 中点 D，连结 ND、A1D
∴DN∥BB1∥AA1
又 DN＝ MAAABB 111 2
1
2
1
∴四边形 A1MND 为平行四边形。
∴MN∥A1 D 又 MN 平面 A1B1C1 AD1 平面 A1B1C1
∴MN∥平面 111 CBA --------------------------6 分
(2)因三棱柱 111 CBAABC 为直三棱柱， ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90°
∴BC⊥平面 A1MC1
在平面 ACC1 A1 中，过 C1 作 C1H⊥CM，又 BC⊥C1H，故 C1H 为 C1 点到
平面 BMC 的距离。
在等腰三角形 CMC1 中，C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6
∴
3
341
1
CM
ACCCHC .--------------------------8 分
22. (1)证明 ∵DE⊥平面 ABCD，∴DE⊥AC，∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC⊥BD，又 DE∩BD＝D，
∴AC⊥平面 BDE.
(2)解 DE⊥平面 ABCD，
∴∠EBD 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EBD＝60°.
∴ ＝ .由 AD＝3，得 BD＝3 ，DE＝3 ，AF＝ .
如图，分别以 DA，DC，DE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(3,0,0)，F(3,0，
)，E(0,0，3 )，B(3,3,0)，C(0，3,0)．
∴ ＝(0，－3， )， ＝(3,0，－2 )．
设平面 BEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 即
令 z＝ ，则 n＝(4,2， )
∵AC⊥平面 BDE，
∴ ＝(3，－3,0)为平面 BDE 的一个法向量，
∵cos〈n， 〉＝ ＝ ＝ ，
∴结合图形知二面角 F-BE-D 的余弦值为 .
(3)解 依题意，设 M(t，t,0)(0≤t＜3)，则 ＝(t－3，t,0)，
∵AM∥平面 BEF，∴ ·n＝0，
即 4(t－3)＋2t＝0，解得 t＝2.
∴点 M 的坐标为(2,2,0)，此时 ＝ ，
∴点 M 是线段 BD 上靠近 B 点的三等分点