【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-3两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式作业 7页

‎§ 4.3　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 A组　基础题组 ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.若sinα‎2‎=‎3‎‎3‎,则cos α=(　　)‎ A.-‎2‎‎3‎ B.-‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　C　由二倍角公式得cos α=1-2sin2α‎2‎=1-2×‎1‎‎3‎=‎1‎‎3‎,选C.‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎2.(2019衢州质检)在△ABC中,cos A=‎3‎‎5‎,cos B=‎4‎‎5‎,则sin(A-B)=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-‎7‎‎25‎ B.‎7‎‎25‎ C.-‎9‎‎25‎ D.‎‎9‎‎25‎ 答案　B　∵在△ABC中,cos A=‎3‎‎5‎,cos B=‎4‎‎5‎,∴sin A=‎4‎‎5‎,sin B=‎3‎‎5‎,∴sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=‎7‎‎25‎,故选B.‎ ‎3.(2018温州十校联合体期初)若α∈π‎2‎‎,π,且3cos 2α=sinπ‎4‎‎-α,则sin 2α的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎18‎ B.‎1‎‎18‎ C.-‎17‎‎18‎ D.‎‎17‎‎18‎ 答案　C　由3cos 2α=sinπ‎4‎‎-α可得3(cos2α-sin2α)=‎2‎‎2‎(cos α-sin α),又由α∈π‎2‎‎,π可知cos α-sin α≠0,所以3(cos α+sin α)=‎2‎‎2‎,所以1+2sin α·cos α=‎1‎‎18‎,故sin 2α=-‎17‎‎18‎.故选C.‎ ‎4.已知sinα+‎π‎3‎+sin α=-‎4‎‎3‎‎5‎,则cosα+‎‎2π‎3‎=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-‎4‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ C.-‎3‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ 答案　B　∵sinα+‎π‎3‎+sin α=‎3‎‎2‎sin α+‎3‎‎2‎cos α=‎3‎·sinα+‎π‎6‎=-‎4‎‎3‎‎5‎,∴sinα+‎π‎6‎=-‎4‎‎5‎,‎ 则cosα+‎‎2π‎3‎=cosπ‎2‎‎+‎α+‎π‎6‎=-sinα+‎π‎6‎=‎4‎‎5‎.‎ ‎5.已知角α,β均为锐角,且cos α=‎3‎‎5‎,tan(α-β)=-‎1‎‎3‎,则tan β=(　　)‎ A.‎9‎‎13‎ B.‎13‎‎9‎ C.3 D.‎‎1‎‎3‎ 答案　C　∵cos α=‎3‎‎5‎,α为锐角,∴sin α=‎4‎‎5‎,∴tan α=‎4‎‎3‎,tan β=tan[α-(α-β)]=tanα-tan(α-β)‎‎1+tanαtan(α-β)‎=3.‎ ‎6.已知sinπ‎5‎‎-α=‎1‎‎3‎,则cos‎2α+‎‎3π‎5‎=(　　)‎ A.-‎7‎‎9‎ B.-‎1‎‎9‎ C.‎1‎‎9‎ D.‎‎7‎‎9‎ 答案　A　∵sinπ‎5‎‎-α=‎1‎‎3‎,∴cos‎2π‎5‎‎-2α=1-2sin2π‎5‎‎-α=‎7‎‎9‎,∴cos‎2α+‎‎3π‎5‎=cosπ-‎‎2π‎5‎‎-2α=-cos‎2π‎5‎‎-2α=-‎7‎‎9‎,故选A.‎ ‎7.(2018宁波诺丁汉大学附中高三期中)若sin(π+x)+cos(π+x)=‎1‎‎2‎,则sin 2x=　　　　,‎1+tanxsinxcosx-‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　-‎3‎‎4‎;-‎‎8‎‎2‎‎3‎ 解析　sin(π+x)+cos(π+x)=-sin x-cos x=‎1‎‎2‎,即sin x+cos x=-‎1‎‎2‎,‎ 两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=‎1‎‎4‎,‎ 即1+sin 2x=‎1‎‎4‎,则sin 2x=-‎3‎‎4‎,‎ 故‎1+tanxsinxcosx-‎π‎4‎=‎‎1+‎sinxcosx‎2‎‎2‎sinx(cosx+sinx)‎ ‎=‎2‎sinxcosx=‎2‎‎2‎sin2x=‎2‎‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎=-‎8‎‎2‎‎3‎.‎ ‎8.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. ‎ 答案　‎2‎;1‎ 解析　∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1,∴A=‎2‎,b=1.‎ ‎9.已知函数f(x)=‎3‎sin xcos x-cos2x-‎1‎‎2‎,x∈R,则函数f(x)的最小值为　　　　,函数f(x)的递增区间为　　　　　　　. ‎ 答案　-2;‎-π‎6‎+kπ,π‎3‎+kπ,k∈Z 解析　f(x)=‎3‎sin xcos x-cos2x-‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎sin 2x-‎1+cos2x‎2‎-‎1‎‎2‎=sin‎2x-‎π‎6‎-1,故最小值是-2;令-π‎2‎+2kπ≤2x-π‎6‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,得-π‎6‎+kπ≤x≤π‎3‎+kπ,k∈Z,所以f(x)的递增区间是‎-π‎6‎+kπ,π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ ‎10.(2019效实中学月考)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,在平面内将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形A'BC'D',则点D'到直线AB的距离是　　　　. ‎ 答案　‎1‎‎2‎+‎‎3‎ 解析　如图所示,连接BD,BD',过D'作D'H⊥AB于点H,‎ 由题意得,cos∠ABD=‎2‎‎5‎,sin∠ABD=‎1‎‎5‎,∴sin∠ABD'=sin(∠ABD+∠DBD')=sin‎∠ABD+‎π‎3‎=‎1‎‎5‎×‎1‎‎2‎+‎2‎‎5‎×‎3‎‎2‎=‎5‎‎+2‎‎15‎‎10‎,故点D'到直线AB的距离为BD'sin∠ABD'=‎5‎×‎5‎‎+2‎‎15‎‎10‎=‎1‎‎2‎+‎3‎.‎ ‎11.(2017浙江杭州二模)设函数f(x)=2cos x(cos x+‎3‎sin x)(x∈R).‎ ‎(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎(2)当x∈‎0,‎π‎2‎时,求函数f(x)的最大值.‎ 解析　(1)f(x)=2cos x(cos x+‎3‎sin x)=2sin‎2x+‎π‎6‎+1.‎ ‎∴函数y=f(x)的最小正周期为π.‎ 令2kπ-π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 得kπ-π‎3‎≤x≤kπ+π‎6‎(k∈Z),‎ ‎∴函数y=f(x)的单调递增区间为kπ-π‎3‎,kπ+‎π‎6‎(k∈Z).‎ ‎(2)∵x∈‎0,‎π‎2‎,∴2x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ ‎∴sin‎2x+‎π‎6‎∈‎-‎1‎‎2‎,1‎,‎ ‎∴函数f(x)的最大值是3.‎ B组　提升题组 ‎1.已知3tanα‎2‎+tan2α‎2‎=1,sin β=3sin(2α+β),则tan(α+β)=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎4‎‎3‎ B.-‎4‎‎3‎ C.-‎2‎‎3‎ D.-3‎ 答案　B　由3tanα‎2‎+tan2α‎2‎=1得tanα‎2‎‎1-tan‎2‎α‎2‎=‎1‎‎3‎,‎ 所以tan α=‎2‎‎3‎①,‎ 由sin β=3sin(2α+β)得sin[(α+β)-α]=3sin[(α+β)+α],‎ 展开并整理得,2sin(α+β)cos α=-4cos(α+β)sin α,‎ 所以tan(α+β)=-2tan α②,由①②得tan(α+β)=-‎4‎‎3‎.‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎2.函数y=sinx-‎π‎12‎·sinx+‎‎5π‎12‎的最大值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎4‎ C.1 D.‎‎2‎‎2‎ 答案　A　y=sinx-‎π‎12‎·sinx+‎‎5π‎12‎=sinx-‎π‎12‎·sinπ‎2‎‎-‎π‎12‎‎-x=sinx-‎π‎12‎·cosπ‎12‎‎-x=‎1‎‎2‎·sin‎2x-‎π‎6‎≤‎1‎‎2‎,所以该函数的最大值为‎1‎‎2‎.‎ ‎3.已知锐角α,β满足sin α=cos(α+β)sin β,则tan α的最大值为(　　)‎ A.1 B.‎2‎‎4‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　sin α=cos(α+β)sin β⇒sin α=(cos αcos β-sin αsin β)sin β⇔sin α(1+sin2β)=cos αcos βsin β⇒tan α=cosβsinβ‎1+sin‎2‎β=sin2β‎3-cos2β(可以看作单位圆上的点(cos 2β,sin 2β)与点(3,0)连线的斜率的相反数).根据几何意义可得tan α的最大值为‎2‎‎4‎此时tanβ=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎4.(2017温州中学月考)已知向量a=(sin α+cos α,1),b=(1,-2cos α),a·b=‎1‎‎5‎,α∈‎0,‎π‎2‎,则sin α=　　　　,cos α=　　　　,设函数f(x)=5cos(2x-α)+cos 2x(x∈R),则f(x)取得最大值时的x的值是　　　　　　　　. ‎ 答案　‎4‎‎5‎;‎3‎‎5‎;kπ+π‎8‎,k∈Z 解析　由题意知sin α+cos α-2cos α=‎1‎‎5‎,即sin α-cos α=‎1‎‎5‎,故2sin αcos α=‎24‎‎25‎,所以(sin α+cos α)2=‎49‎‎25‎,因为α∈‎0,‎π‎2‎,所以sin α+cos α=‎7‎‎5‎,所以sin α=‎4‎‎5‎,cos α=‎3‎‎5‎.又f(x)=4sin 2x+4cos 2x=4‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎,故当f(x)取最大值时,2x=2kπ+π‎4‎,k∈Z,即x=kπ+π‎8‎,k∈Z.‎ ‎5.已知函数f(x)=2‎3‎sin xcos x+2cos2x+3.‎ ‎(1)若A为三角形的一个内角,且f(A)=5,求角A的大小;‎ ‎(2)若f(x)=‎28‎‎5‎,且x∈π‎6‎‎,‎‎5π‎12‎,求cos 2x的值.‎ 解析　(1) 由已知得f(x)=‎3‎sin 2x+cos 2x+4=2sin‎2x+‎π‎6‎+4,∴sin‎2A+‎π‎6‎=‎1‎‎2‎,‎ ‎∵0