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- 2021-04-17 发布
河北省正定中学2016-2017学年高三质量检测第三次考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数，，则的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知集合，，若，则，则（ ）
A．-5 B．5 C．-1 D．1
3.命题“，，使得”的否定是（ ）
A．, ，使得 B．，，使得
C．，，使得 D．，，使得
4.已知函数的图象关于轴对称，且函数在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前25项之和为（ ）
A．0 B． C．25 D．50
5.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
6.若函数在区间（）上的值域为，则
等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8.等腰直角三角形中，，，点分别是的中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，已知点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则（ ）
A．46 B．30 C．242 D．161
12.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，现有下列命题：
①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；
②若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线” 关于轴对称；
③单位圆的“伴随曲线”是它自身；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，，其中，若，则的值是________.
14.如图，在边长为1的正方形内，阴影部分是由两曲线，（）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是，则函数的值域为________.
15.已知函数，，是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为________.
16.已知双曲线（）上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，设直线的斜率分别为，则当最小时，双曲线的离心率为________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）设的平分线交于，，，求的值.
18.（本小题满分12分）
某学校根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔能否成功进入这三个社团是相互独立的，2016年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社会的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求与的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.
19.（本小题满分12分）
如图，菱形的对角线与交于点，，，点分别在上，，交于点，将沿折到的位置，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
20.（本小题满分12分）
已知各项均不为零的数列的前项和，满足：（为常数，且，）．
（1）设，若数列为等比数列，求的值；
（2）在满足（1）的情形下，设，数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21.（本小题满分12分）
设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
22.（本小题满分12分）
设．
（1）求证：当时，；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
高三质检三数学（理科）试题参考答案
一、选择题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
C
C
A
D
B
A
B
C
D
B
二、 填空题答案：13. 14. 15.
16.
三、解答题答案
17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、
综合分析问题解决问题的能力以及 转化与化归的数学思想．
17.【解析】（1）, ……………………2分
………………………………………………………………4分
, ………………………………………………………………………
………5分
（2）在中,由正弦定理：
…………………………………………………………………7分
…………………………………………9分
……………………………………………10分
18. 【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力.
18．【解析】
（1）依题，，解得.………………………………………6分
（2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量，则
的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分
而；；
； ；
； ；
. …………………………………………10分 （每答对两个，加1分）
的分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
…………………………………………11分
………………………………………………………………………………………………………11分
于是，. …………………………12分
19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求
解能力.
19.【解析】(1)由已知得，,又由得，故∥，因此
，从而⊥.由得.…………2分
由∥得.所以,.…………………………………3分
于是,故.又,而,
所以平面. ……………………………………………………………………………4分
(2) 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，，
.………………………………………………………………………………………6分
设是平面的法向量，
则，即，可取.…………………………………8分
设是平面的法向量，
则，即，可取………………………………………10分
于是，………………………………………………11分
设二面角的大小为，.因此二面角的正弦值是.……………12分
20. 【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知
识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．
20.【解析】（1）当时，，得．……………………………………………1分
当时，由，即，①
，②
①②，得，即，数列的各项均不为零∴（），
∴是等比数列，且公比是，∴． ………………………………………………3分
，，即，……………………………4分
若数列为等比数列，则有，而，，，
故，解得， ………………………………………………5分
再将代入，得，由，知为等比数列，∴．……………………6分
（2）由，知，∴，……………………………………………………7分
∴，………………………………………………………………9分
由不等式恒成立，得恒成立，
设，由，………………………………………10分
∴当时，，当时，，而，，∴，
∴，∴．………………………………………………………………………………12分
21. 【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识，
意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.
21.【解析】（1）：设，由，即，可得，又
，所以，因此，所以椭圆的方程为.………………4分
(2)设直线l的斜率为（），则直线l的方程为.设，
由方程组，消去，整理得.
解得，或
，………………………………………………………………………6分
由题意得，从而.由（1）知，设，
有，.……………………………………………………8分
由，得，所以-，解得.……………9分
因此直线的方程为.设，
由方程组消去，解得.……………………………………10分
在中，，即，化简得，
即，解得或.……………………………………………………11分
所以直线的斜率的取值范围为.…………………………………………12分
22. 【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意
在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．
22. 【解析】（1）证明：，则，……………………1分
设，则， ………………………………………………………2分
当时，，即为增函数，所以，
在时为增函数，所以．…………………………………………4分
（2）解法一：由（1）知时，，，所以，
设，则， ………………………………………………5分
设，则，……………………………………………………………6分
当时，所以为增函数，
所以，所以为增函数，所以，…………………………7分
所以对任意的恒成立.…………………………………………………8分
又，时，，所以时对任意的
恒成立.……10分
当时，设，则，…………………11分
，所以存在实数，使得任意，均有，所以在
为减函数，所以在时，所以时不符合题意.
综上，实数的取值范围为.……………………………………………………………………12分
（2）解法二：因为等价于 ………………………6分
设，则………………………………7分
可求， ………………………………………………………………9分
所以当时，恒成立，在是增函数，
所以，即，即
所以时，对任意恒成立．………………………………………10分
当时，一定存在，满足在时，，
所以在是减函数，此时一定有，
即，即，不符合题意，
故不能满足题意，
综上所述，时，对任意恒成立．……………………………12分
选择题解析：
1.【解析】，.在复平面内的对应点位于第四象限.故选D.
2.【解析】，若，，由，
，所以，∴是方程的两根，由根与系数关系得
．
3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“，
，使得”的否定是“，，使得”．故选C．
4.【解析】由已知可得，又是等差数列，所以，数列的前项和
，所以数列的前项和为.故选C.
5.【解析】在图象上，，，，
又位于函数的图象上，，或
，，.故选A.
6. 【解析】，
，且，所以是以点为
对称中心，所以其最大值与最小值的和.故选D.
7.【解析】由知函数的图象关于直线对称，当时，，
则，所以在时，递增，，又，所以
，即．故选B．
8.【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，
则且，,，令
，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，
有最小值，将代入得，当直线经过点时，有
最大值，将代入得，故答案为A．
9.【解析】由已知得，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两函数图象
有两个不同的交点，故函数的零点个数为，故选B．
（第9题图） （第10题图）
10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，设，则，
解得，该多面体的外接球半径，所以其表面积为
，故选C.
11. 【解析】因为，所以，
设，，又因为 ，
， 以，又，所以数列
表示首项为，公比为的等比数列，所以，,故选D．
12.【解析】对于①，若令，则其“伴随点”为，而的“伴随点”为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于
轴对称，则与方程表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其“伴随点”为仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线上任一点的“伴随点”为，的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B.
填空题解析：
13.【解析】，
14. 【解析】设阴影部分的面积为,则，又正方形面积
为，，的值域为
15. 【解析】 ,,则，点的坐标为，
若为切点，，曲线在点处切线的斜率为3，切线方程为，即
；若不为切点，曲线的切线的切点为，曲线的切线的斜率
，则，又，则，，得出切线方程
，
即.过曲线上一点的切线方程为.
16.【解析】设，显然．
∵点在双曲线上，∴，两式相减得，
∴ . 由，
设， 则，∴求导得，由得．
∴在单调递减，在单调递增，时即时取最小值，
∴，∴．