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- 2021-04-17 发布
成都外国语学校2017-2018学年度下期期中考试
高二理科数学试题
命题人：刘丹 审题人：罗德益
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2、本堂考试120分钟，满分150分。
3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂。
4、考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卡上)
1、已知集合，集合，若的元素个数为，则（ ）
A. 0 B. C. D.
2、命题“若，则”的否命题是（ ）
A. 若 ɘԷϨ?________________
C. 若 ɧðϨϨ________________
3、下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. ^_D_Dd____ /______ D.
4、某同学设计下面的程序框图用以计算和式的值，则在判断框中应填写（ ）
A． B． C． D．
5、曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
6、已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）。下面四个图象中， 的图象大致是（ ）
第6题
A
B
C D
7、已知函数的极小值点是，则（ ）
或 或
8、已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A.8 B. 6 C.4 D. 1
9、一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D.
10、已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
11、已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到
函数的图象，若是在内的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12、若函数满足：对，
均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间上的“小确幸函数”。则下列四个函数：；；；中，“小确幸函数”的个数（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上）
13、若，则
14、已知△中，，，，则
15、若称为二元函数，已知，，则的最大值等于______
16、已知向量满足。若的最大值和最小值分别为，则
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）已知是等比数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前
18、（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角。
（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）设与圆相交于、两点，求的值
19、(本小题满分12分)如图，在中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当时，求与平面所成角的正弦值.
20、（本小题满分12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差（℃）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均小于25”的概率；
（2）请根据3月2日至3月4日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：线性回归方程为，其中， ）
:学。科。网]
21、（本小题满分12分）已知点为抛物线C:的焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图，当直线与轴垂直时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为。请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由。
22、 （本小题满分12分）已知，函数，是的导函数。
（1）当时，求函数在内的零点的个数。
（2）对于，若存在使得，试比较与的大小。
成都外国语学校2017-2018学年度下期期中考试
高二理科数学答案
1、ABCD（任选一个均对）
2-12：CBC BCDC ADAB 13、6 14、 15、 16、
17、解：（Ⅰ）由 解得 所以 ……4分
（Ⅱ） ……6分
……12分
18、解：（Ⅰ）圆的标准方程为． 2分
直线的参数方程为，即（为参数） 5分
（Ⅱ）把直线的方程代入，得，
即，所以， 所以． 10分
19、证明：（Ⅰ）
,翻折后垂直关系没变，仍有,
……4分
（Ⅱ） ,
二面角的平面角，……5分
，又,由余弦定理得,
,,两两垂直………6分]
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图直角坐标系。
则
， ……8分
设平面的法向量
由可得…………10分
，故与平面所成的角的正弦值为 ……12分
20、解：（Ⅰ）构成的基本事件有： ， ， ，共有10个。 “均小于25”的有1个，其概率为 …4分
（Ⅱ）∵，∴ ……6分
于是， 故所求线性回归方程为……8分
（Ⅲ）由（2）知，当时， ；当时，
与检验数据的误差均为1，满足题意．故认为得到的线性回归方程是可靠的. ……12分
21、解：（1）∵为抛物线的焦点，∴．
又∵与轴垂直，且，∴，
又∵点在抛物线上，∴，∴，∴求抛物线C的方程为；……4分
（2）结论：，为定值， 设直线与抛物线交于不同两点，，
①当直线斜率不存在时，知直线与关于轴对称，∴．……6分
②当直线斜率存在时，直线的方程设为，
联立，得∴，．
又∵，，且， ，
∴
，∵，∴，
综上所述．……12分
22、解：（1）∵，∴，
可知在单减，单增，则，
又，，
∴在内的零点的个数为2个……5分
（2）由得
，而，所以，
令， ，则，而，
所以在上是增函数，则，所以，
又因为在上是增函数，所以，即有 ……12分