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- 2021-04-17 发布
专题三 空间几何
汇编2013年3月
（松江区2013届高三一模 文科）15．过点且与直线平行的直线方程是
A． B．
C． D．
15．D
（嘉定区2013届高三一模 文科）16．以下说法错误的是……………………………（ ）
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
16．C
（浦东新区2013届高三一模 文科）10．若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 .
（黄浦区2013届高三一模 文科）15．在四边形ABCD中，，且·＝0，则四边形ABCD是 （ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
15．A
（虹口区2013届高三一模）16、已知、、是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）[来源:学*科*网]
如果 ，．则． 如果，．则、、 共面．
如果 ，．则． 如果、、共点．则、、 共面．
16、A；
（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．
（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”
给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为，
若，则点与点的“非常距离”为．
已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则点与点的“非常距离”的最小值是_________．13． 理
（杨浦区2013届高三一模 文科）7. 若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为
. 7.
（第4题图）
（普陀区2013届高三一模 文科）4. 【文科】正方体中，异面直线与所成的
角的大小为 .
4.【文科】
（嘉定区2013届高三一模 文科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 8．
（浦东新区2013届高三一模 文科）12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，
则该几何体的体积为 .
（金山区2013届高三一模）9．若直线l：y=kx经过点，则直线l的倾斜角为α = ． 9．
（青浦区2013届高三一模）13．正六边形
的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形
，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．
杨浦区2013届高三一模 文科）5．若直线:，则该直线的倾斜角是 . 5．；
（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积 ．
（虹口区2013届高三一模）10、在中，，且，则的面积等于 ． 10、或；
（普陀区2013届高三一模 文科）13. 三棱锥中，、、、分别为
（第13题图）
、、、的中点，则截面
将三棱锥分成两部分的体积之比为 .
13.
（松江区2013届高三一模 文科）13．在平面直角坐标系中，定义为,两点之间的“折线距离”．则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ▲ ．13．
（杨浦区2013届高三一模 文科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，
其中米，米. 为了合理利用这块钢板,将在五边
形内截取一个矩形块，使点在边上.
则矩形面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；
（崇明县2013届高三一模）3、过点，且与直线垂直的直线方程是 . 3、
（长宁区2013届高三一模）17、已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）
A. B.
C. D.
17、
（闵行区2013届高三一模 文科）12． (文)已知△ABC的面积为，在△ABC所在的平面内有两点，满足，则△APQ的面积为 ．12．文；
（宝山区2013届期末）12.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则R= ．
（青浦区2013届高三一模）11．已知与()．直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是 1 ．
（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是 。
（文）已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．11、（理），（文）
（崇明县2013届高三一模）8、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为的
半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 8、
（青浦区2013届高三一模）19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图已知四棱锥中的底面是边长为6的正方形，侧棱的长为8，且垂直于底面，点分别是的中点．求
（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥的表面积.
（1）解法 一：连结，可证∥，
直线与所成角等于直线与所成角． …………………………2分
因为垂直于底面,所以,
点分别是的中点,
在中,,,
,…………………………4分
即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分
解法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，，，，， …………………………2分
直线与所成角为，向量的夹角为
…………………………4分
又，，
即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分
（说明：两种方法难度相当）
(2) 因为垂直于底面,所以，即≌
，同理≌…………8分
底面四边形是边长为6的正方形，所以
又
所以四棱锥的表面积是144 …………………………………………12分
（崇明县2013届高三一模）20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）
（文科）如图，四面体中，、分别是、的中点，平面，
A
B
E
O
D
C
．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
（理科）如图，在长方体中, , 为中点．
A
B
C
E
D
A1
D1
B1
C1
（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小．
20、（理科）
（1）方法一、以A为坐标原点，以AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系,设，则，.
所以 , 。
另解：为正方形，所以，。
。
（2）因为
所以取面AB1E的一个法向量为，同理可取面A1B1E一个法向量为，
设二面角A-B1E-A1为，则，即二面角A-B1E-A1的大小为.
（文科）
（1）因为CO=，AO=1 所以 。[来源:学科网ZXXK]
（2）因为O、E为中点，所以OE//CD，所以的大小即为异面直线
AE与CD所成角。
在直角三角形AEO中，，所以异面直线AE与CD所成角的大小为
（虹口区2013届高三一模）19、（本题满分12分）在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于．
（1）求正四棱锥的体积；
（2）若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径．
19、(12分) 解：（1）取的中点，记正方形对角线的交点为，连，，，则过．
，，又，，得.………………4分
，
正四棱锥的体积等于（立方单位）．………………8分
（2）连，，设球的半径为，则，，在中有，得。…………12分
（宝山区2013届期末）19. (本题满分12分)
如图，直三棱柱的体积为8，且，∠，E是的中点，是的中点.求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
解：由得，………………………3分
取BC的中点F，联结AF，EF，则，
所以即是异面直线与所成的角，记为． ………………………5分
，，，………………………8分
，………………………11分
因而………………………………………………12分
（长宁区2013届高三一模）20、（本题满分12分）如图，△中，， ，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
B
M
N
C
A
O
第20题
20、解（1）连接，则
， …………3分
设，则
，又，所以，…………6分
所以， …………8分
（2）…………12分
（黄浦区2013届高三一模 文科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的
中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
解：（1）在正方体中，
∵是的中点，
∴， ………………3分
又平面，即平面，
故，
所以三棱锥的体积为．………………6分
（2）连，由、分别为线段、的中点，
可得∥，故即为异面直线与所成的角． ………………… 8分
∵平面，平面，∴，
在△中，，，
∴，∴ ．
所以异面直线EF与所成的角为． ………………………… 12分
（嘉定区2013届高三一模 文科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥中，底面，，．
（1）求三棱锥的体积；
P
A
B
C
（2）求异面直线与所成角的大小．
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）因为底面，所以三棱锥的高，…………（3分）
所以，．…………（6分）
（2）取中点，中点，中点，
连结，，，则∥，∥，
所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．…………（2分）
G
P
A
B
C
F
E
连结，则，……（3分）
， …………（4分）
又，所以．…………（5分）
在△中，，……（7分）
故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）
（浦东新区2013届高三一模 文科）19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，直三棱柱中，,.
（1）求直三棱柱的体积；
（2）若是的中点，求异面直线与所成的角.
解：（1）；…………………………………6分
（2）设是的中点，连结，,
是异面直线与所成的角.………8分
在中，，
.…………………………………10分
即.异面直线与所成的角为.…………12分
（浦东新区2013届高三一模 文科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数.
（1）若，求角；
（2）复数对应的向量分别是,其中为坐标原点，求的取值范围.
解：（1） =……2分
…………………………4分
又 ，， …………………6分
（2）
………………………10分
，………14分
（杨浦区2013届高三一模 文科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
P
C
D
E
如图，在三棱锥中，平面，，，,
分别是的中点，
（1）求三棱锥的体积；
（2）若异面直线与所成角的大小为，求的值.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
(1)由已知得， ………2分
所以 ，体积 ………5分
(2)取中点，连接，则，
所以就是异面直线与所成的角. ………7分
由已知，，
. ………10分
在中，，
所以，. ………12分
(其他解法，可参照给分)