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- 2021-04-17 发布
驻马店市2017-2018学年度第二学期期终考试
高二数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（为虚数单位）的共轭复数是( )
A．B．C．D．
2.若变量与之间的相关系数，则变量与之间( )
A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系
C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定
3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳伞一次，设命题是“甲降落在指定的范围内”是“乙降落在指定的范围内”，则命题“甲乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范围内”可以表示为( )
A．B．C．D．
4.已知等比数列中，，，则( )
A．B．C.D．
5.若曲线在点处的切线方程为，则( )
A．-1 B． C. D．1
6.若实数满足，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
7.已知为实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.某小区的6个停车位连成一排,现有3辆车随机停放在车位上,则任何两辆车都不相邻的停放方式有()种.
A.24 B.72C.120D.144
9.若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为( )
A. 6 B. C. 9 D.
10.在中,为锐角,,则的形状为( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对
11.设双曲线的一个焦点为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,且与另一条渐近线交于点,若,则双曲线的离心率为( )
A. B.2C. D.
12.已知函数,若是函数唯一的极值点,则实数的取值范围为( )
A. B.C.D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.定积分的值为__________.
14.若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.
15.驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)服从正态分布,记为事件为事件,则__________.(结果用分数示)
附：；；
.
16.已知函数, ,,且，则不等式
的解集为__________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中,角的对边分别为,且成等比数列,的面
积为.等差数列的首项,公差为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足,设为数列的前项和,求.
18.如图,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点,平面.
(1)求证:平面；
(2)若,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.
19.现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是,样本数据分组为.
(1)求直方图中的值；
(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；
(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求的分布列和数学期望．
20.已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.证明：直线的斜率成等差数列.
21.已知函数.若是的极值点.
(1)求在上的最小值；
(2)若不等式对任意都成立,其中为整数,为的函数,求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
;过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
(2)若成等比数列,求的值.
23.选修4一5:不等式选讲
已知函数，.
(1)当时,解不等式；
(2)若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
驻马店市2017-2018学年度第二学期期中考试
高二数学（理科）试题答案
一、选择题
1-5:ABACB 6-10:CBABA 11、12：CA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】（1）由成等比数列得，
又因为，
所以，
所以是以4为首项，4为公差的等差数列，
所以.
(2)由(1)可得，
所以.
18.(1)证明方法一:连接，因为底面是等腰梯形且
所以，，又因为是的中点
因此，且
所以，且
又因为且
所以
因为，平面
所以平面
所以，平面平面
在平行四边形中，因为,
所以平行四边形是菱形，
因此
所以平面；
解法二：底面是等腰梯形，,,
所以，
因此
以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,
由得
所以,,,
因此，且
所以且
所以，平面
(2)底面是等腰梯形，,,
所以，
因此
以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,,
所以，,
设平面的一个法向量
由得
由是平面的法向量
因此
平面和平面所成的锐二面角的余弦值是.
19.解析：(1)由直方图可得
∴
(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:
∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住
(3)的可能取值为,
有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为
则的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望
20.解析：（1）；
(2)因为右焦点,
当直线的斜率不存在时其方程为，
因此，设，则
所以且
所以，
因此，直线和的斜率是成等差数列.
当直线的斜率存在时其方程设为
由得，
所以
因此，
所以，
又因为
所以有,
因此，直线和的斜率是成等差数列
综上可知直线和的斜率是成等差数列.
21.（Ⅰ），由是的极值点，得，.
易知在上单调递减，在上单调递增，
所有当时，在上取得最小值2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，此时，
令，
令，，在单调递增，
且，，在时，
，
由，
又，且，所以的最大值为2.
22.解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，
直线的普通方程为
（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得，
因为
由题意知，
代入得.
23.解：（1)当时，
，
或，
或，
解得.
即不等式解集为.
(2)
当且仅当时，取等号，
的值域为.
又在区间上单调递增.
即的值域为，要满足条件，必有
解得
的取值范围为