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- 2021-04-17 发布
2019-2020 学年第一学期高一年级 10 月份联考
数学试题卷
考试说明：
1.考查范围：必修 1 第一章。
2.试卷结构：分第 1 告（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150 分，考试时间：120
分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若全集 且 ，则集合 的真子集共有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 A，再根据集合 A 中的元素个数求出真子集的个数。
【详解】解：依题意，A＝{2，3，5}，
∴集合 A 的真子集共有 个，
故选：C．
【点睛】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有 n 个元素，则它有 个子集，有
个真子集，属于基础题．
2.已知集合 ，则从集合 到集合 的映射中，满足 的映
射有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在两个集合中，集合 M 有三个元素，其中一个已经确定对应关系，剩下两个元素，分别和集
01{ }2 3 5U = ，，，， { }0,1UC A = A
3 5 7 8
32 1 7− =
2n 2 1n −
{ }, { }, , 1,M x y z N l−= = M N ( ) 1f x =
3 4 5 6
合 N 中的三个元素对应，得到共有 4 种不同的结果．
【详解】解：∵满足 x 对应的元素是 1，故 l=
集合 M 中还有两个元素 y 和 z，
y 可以和 对应，也可以和 对应,
z 可以和 对应，也可以和 对应,
每个元素有两种不同的对应，
∴共有 2×2＝4 种结果，
故选：B．
【点睛】本题考查映射的个数，在两个集合中，若 A 集合有 m 个元素，B 集合有 n 个元素，根
据分步计数原理知，从集合 A 到集合 B 的映射的个数是 nm．
3.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的值，然后根据 的范围代入对应解析式求值．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查已知分段函数求函数值， 基础题．
4.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
是
1
1− 1
1− 1
( )
2
1 , 1
2, 1
x xf x x
x x x
− ≤=
+ − >
( )
1
2f f
=
7
4
15
4
15
4
− 18
(2)f 1
(2)f
2(2) 2 2 2 4f = + − =
1 1 1 154(2) 4 4 4f ff
∴ = = − = −
(2 1)f x − [ ]0,1 ( 1)f x +
[ ]0,1 [ ]2,0− [ ]1,2 [ ]1,1−
【解析】
分析】
由函数 的定义域求出 2x−1 的取值范围即可得到 中 x+1 的范围，进一步求
出 x 的范围即为定义域．
【详解】解：∵函数 的定义域为 ，即 0≤x≤1，
∴−1≤2x−1≤1，
即函数 中−1≤x+1≤1，
解得：−2≤x≤0，
则函数 的定义域为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查与抽象函数有关的定义域的求法，是基础题．
5.若函数 满足 ，则 的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
变形 ，即可直接求出函数的关系式．
【详解】解：函数 满足 ，
则 ，且
【
(2 1)f x − ( 1)f x +
(2 1)f x − [0,1]
( 1)f x +
( 1)f x + [ 2,0]−
( )f x 1xf xx
+ =
( )f x
( ) ( )1 11f x xx
= ≠− ( ) ( )1 11f x xx
= ≠ −+
( ) ( )11
xf x xx
= ≠− ( ) ( )11
xf x xx
= ≠ −−
1 1
1 1
xf xx
x
+ = + −
( )f x 1xf xx
+ =
1 1
1 1
xf xx
x
+ = + −
1 11 1x
x x
+ = + ≠
1( ) ( 1)1f x xx
∴ = ≠−
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：利用恒等变换求函数的解析式．
6.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；
五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知
，若 ，则整数 的最
小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将选项中的数字带入集合 A，B，C 检验是否为 A，B，C 的元素，找出最小的一个即可．
【详解】解：因为求整数 的最小值，所以从最小的数开始带入检验即可：
当 =23 时， ，故 ； ，故 ； ，故
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，利用排除法，可快速得出答案．
7.若函数 是定义在 上的偶函数，则 的值域为（）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程 ，即可求出函数解
析式，最后根据二次函数性质求值域．
【详解】解：∵ 是定义在 上的偶函数，
∴定义域关于原点对称，即 1＋ ＋1＝0，
{ }*3 2,A x x n n N= = + ∈
{ }*, 5 3,B x x n n N= = + ∈ { }*, 7 2,C x x n n N= = + ∈ x A B C∈ ∩ ∩ x
128 127 37 23
x
x 23 3 7 2= × + x A∈ 23 5 4 3= × + x B∈ 23 7 3 2= × +
x C∈
23 A B C∴ ∈ ∩ ∩
( ) 2 1f x ax bx= + + [ ]1 ,1a+ ( )f x
[ ]1,1− [ ]0,1 [ ]1,0−
( ) ( )f x f x− =
2( ) 1f x ax bx= + + [1 ,1]a+
a
∴ ＝−2．
又 ，
，
即− ＝ 解得 ＝0，
，定义域为[−1，1]，
，
故函数的值域为[−1，1]，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数奇偶性的性质是解决本题的关键．
8.函数 的单调减区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令 ，求得函数 定义域，本题即求 在定义域内的单调减区间．利用二次函
数的性质可得 在定义域 内的单调减区间．
【详解】解：令 ，求得 ，故函数的定义域为 ，
本题即求 在 内的减区间．
利用二次函数的性质可得 在 内的减区间为 ，
即函数 的单调减区间为 ，
故选：B．
的
a
( ) ( )f x f x− =
2 21 1ax bx ax bx∴ − + = + +
b b b
2 2( ) 1 2 1f x ax bx x∴ = + + = − +
1 ( ) 1f x∴− ≤ ≤
( ) 22f x x x= − −
12, 2
− −
1 ,12
−
1, 2
−∞ −
1 ,2
− +∞
22 0t x x= − − ≥ t
( )f x
22 0t x x= − − ≥ 2 1x− ≤ ≤ [ 2,1]−
t [ 2,1]−
t [ 2,1]− 1 ,12
−
2( ) 2f x x x= − − 1 ,12
−
【点睛】本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注
意，求单调区间，一定要先求函数定义域．
9.已知函数 ，则函数 的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，结合函数单调性进行求解即可．
【详解】解：由 ，得 ，
即函数的定义域为 ，
又观察得函数 在 上递减，
所以函数 在 上递减，
所以函数的最大值为 ，最小值为 ，
即函数的值域为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数值域的计算，结合函数单调性与最值之间的关系是解决本题的关
键．
10.已知函数 是定义域为 的奇函数，满足 ，且 ，则
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意确定函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，进而求出 f（1）、f（2）、f（3）、f（4）
( ) 12 3f x x x= − − − ( )f x
[ ]3,0− [ ]0,3 [ ]3,3− [ ]3,12
12 0
3 0
x
x
− ≥
− ≥ 3 12x≤ ≤
[3,12]
12 , 3y x y x= − = − − [3,12]
( ) 12 3f x x x= − − − [3,12]
(3) 3f = (12) 3f = −
[ 3,3]−
( )f x R ( ) ( )2f x f x= − (1) 1f =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 20f f f f+ + + + =
20− 0 2 20
的值，结合周期性分析可得答案．
【详解】根据题意，定义域为 的奇函数 满足 ，
即 ，
变形可得： ，则有 ，
即函数 时周期为 4 的周期函数，
因为 是定义域为 的奇函数，则 ，
则有 ，
，
故
选：B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性的综合应用，涉及函数的周期性，属于基础题．
11.已知函数 满足：对任意的 ，均有
，则实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先通过 判断出 在 上单调递增，则分段函数每一段都单调
递增，并且左边一段的最高点不能高于右边一段的最低点，列不等式组即可得出结果．
【详解】 ，
在 上单调递增，
R ( )f x ( ) (2 )f x f x= −
( ) (2 ) ( 2)f x f x f x= − = − −
( 2) ( )f x f x+ = − ( 4) ( 2) ( )f x f x f x+ = − + =
( )f x
( )f x R (0) 0f =
(2) 0f = (4) 0f =
(1) 1f =
(3) ( 1) (1) 1f f f∴ = − = − = −
(1) (2) (3) (20) 5[ (1) (2) (3) (4)] 5 (1 0 1 0) 0f f f f f f f f∴ + + + + = + + + = × + − + =
( )f x ( )
2 1, 0
1 2 , 0
x x
m x m x
− + ≤= − + > 1 2x x≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − > m
1 ,2
+∞
1 ,2
+∞
1 ,12
1 ,12
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − > ( )f x R
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − >
( )f x∴ R
解得： ，故选：C．
【点睛】本题考查分段函数的单调性，要特别注意，分段函数的单调性各段之间的最值关系，
如果单调递减，左边一段的最低点不能低于右边一段的最高点，如果单调递增，左边一段的
最高点不能高于右边一段的最低点．
12.定义 ，若函数 ，则 的
最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据新定义求出 ，再画出其图像，根据图像可求出函数的最小值．
【详解】解：函数 ，
当 ，即 ，解得 或
所以函数图像如图如下：
2
1 0
0 1 2
m
m
− >∴− + ≤
1 12 m≤ <
,
,
a a ba b b a b
>⊗ = ≤
( ) ( )2 1 32 , 2 2f x x x g x x= − = + ( ) ( )y f x g x= ⊗
1− 0 5
4 2
( ) ( )y f x g x= ⊗
( ) ( )2 1 32 , 2 2f x x x g x x= − = + ( ) ( )y f x g x= ⊗
( ) ( )f x g x> 2 1 32 2 2x x x− > +
2
1x < − 3x >
( ) ( )
2 12 , ( , ) (3, )2
1 3 1, [ ,3]2 2 2
x x x
y f x g x
x x
− ∈ −∞ − ∪ +∞∴ = ⊗ =
+ ∈ −
结合图像可知，当 时，函数有最小值 ，故选：C．
【点睛】本体主要考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图
的能力，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填写在答题卷相应位置上。
13.若集合 A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且 A∪B＝{2,4，x}，则 x＝________.
【答案】0,1 或－2
【解析】
由已知得 B⊆A，∴x2＝4 或 x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知 x≠2，∴x＝0,1 或－
2.
14.已知函数 和 均为 上的奇函数，若 在 上有
最大值 ，则 在 上的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 和 的奇偶性可判断 的奇偶性，由 在 上的最大值可得
的最大值，由其奇偶性可得 在对称区间 上的最值情况，从而可得
的最值情况．
1
2x = − 1 1 3 5( )2 2 2 4
× − + =
( )f x ( )g x R ( ) ( ) ( ) 2F x af x bg x= + − ( )0, ∞+
8 ( )F x ( ),0−∞
12−
( )f x ( )g x ( ) 2F x + ( )F x ( )0, ∞+
( ) 2F x + ( ) 2F x + ( ),0−∞
( )F x
【详解】解：由 ，得 ，
和 均为 上的奇函数，
，
是奇函数，
在 上有最大值 8，即 ，
，又 是奇函数，
根据奇函数的对称性，当 时，
得 ，即 在 上的最小值为-12，
故答案为：-12．
【点睛】本题考查函数 奇偶性及其应用，考查函数的最值求解，属基础题
15.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若
，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 为定义在 上的偶函数，以及 在 上单调递减，说明自变量离 y 轴越
近，函数值越大，另外不等式要满足原函数的定义域，几方面列不等式组即可求出 的范
围．
【详解】解： 为定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，
由 得， ，解得 或 ，
的
( ) ( ) ( ) 2F x af x bg x= + − ( ) ( ) ( )2F x af x bg x+ = +
( )f x ( )g x R
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 [ ] [ 2]F x af x bg x af x bg x af x bg x F x∴ − + = − + − = − − = − + = − +
( ) 2F x∴ +
( )F x ( )0, ∞+ ( ) 8F x ≤
( ) 2 10F x∴ + ≤ ( ) 2F x +
( ),0x∈ −∞ ( ) 2 10F x + ≥ −
( ) 12F x ≥ − ( )F x ( ),0−∞
( )f x [ ]1,1− ( )f x [ ]0,1
( ) 11 2f a f − < a
1 30, ,22 2
∪
( )f x [ ]1,1− ( )f x [ ]0,1
a
( )f x [ ]1,1− ( )f x [ ]0,1
( ) 11 2f a f − <
1 1 1
11 2
a
a
− ≤ − ≤ − >
10 2a≤ < 3 22 a< ≤
故答案为：
【点睛】本题考查偶函数的定义，函数定义域的概念，以及根据函数单调性解不等式的方
法．
16.若函数 的值域为 ，则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数 的值域为[0，＋∞），得 能够取到大于等于 0 的所
有数，然后对 m 分类求解得答案．
【详解】解： 函数 的值域为[0，＋∞），
∴ 能够取到大于等于 0 的所有数，
当 时，不合题意；
当 时，则 ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查函数值域的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写
在答题卡上的指定区域内.
17.已知集合 ，
求
若集合 满足 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
1 30, ,22 2
∪
( ) 2 1f x mx mx= − − [ )0,+∞ m
0m >
( ) 2 1f x mx mx= − − 2 1mx mx− −
( ) 2 1f x mx mx= − −
2 1mx mx− −
0m =
0m ≠ 2
0
4 0
m
m m
>
= + ≥
0m >
0m >
{ }1 3A x y x x= = − + − { }2 2, 0B y y x x= = + >
( )1 ( ), RA B C A B∩ ∪
( )2 { }2C x x a= < < A C A∪ = a
( ] ( ) ( )2,3 , ,1RA B C A B∩ = ∪ = −∞ ( ],3−∞
（1）先求出集合 A，B，再求出 结果即可；
（2）讨论 的取值，其中 等价于 ，求出 时 的取值范围即可
【详解】解： 由题意得，
故
由 ，得
（i）当 时， 符合题意
（ii）当 时，由 得
故 符合题意
综上： 的范围为
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题。
18.已知函数
画出 的图象（直接作出图象即可）；
求函数 的单调区间
【答案】（1）作图见解析（2）单调增区间为 和 ；无单调减区间
【解析】
【分析】
（1）将 变形为 ，利用图像的平移变换即可画出。
的( ), RA B C A B∩ ∪
a A C A∪ = C A⊆ C A⊆ a
( )1 [ ] ( )1,3 , 2,A B= = +∞
( ] ( ) ( )2,3 , ,1RA B C A B∩ = ∪ = −∞
( )2 A C A∪ = C A⊆
2a ≤ C = ∅
2a > C A⊆ 3a ≤
2 3a< ≤
a ( ],3−∞
( ) 2 1
1
xf x x
+= +
( )1 ( )y f x=
( )2 ( )f x
( ), 1−∞ − ( )1,− +∞
( ) 2 1
1
xf x x
+= + ( ) 12 1f x x
= + +
（2）根据图形即可观察出单调区间。
【详解】解： ， 可由 向左平移一个单位，然后向上
平移 2 个单位得到，如图：
由（1）中图像可得单调增区间为 和 ；无单调减区间.
【点睛】本题考查分式函数图像的画法，以及通过观察图像得函数的性质，是基础题。
19.已知函数
若 ，求 和 的值
当 时，求函数 在 的最小值
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 列方程组即可。
（2）结合对勾函数的特点，通过对 进行分类讨论，确定函数 在 上的单调性，
从而求出最小值。
( )1 ( ) 2 1 121 1
xf x x x
+= = ++ +
( )f x 1y x
=
( )2 ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞
( ) ( )2
,mx nf x m nx
+= 为实数
( )1 ( ) 11 32f f = = m n
( )2 0a > ( )f x ( ]0,a
2
1
m
n
=
= min
1 22 ,0 2
22 2, 2
a aaf
a
+ < ≤=
>
( ) 11 32f f = =
a ( )f x ( ]0,a
【详解】解： 由题意得： ，解得
由 知，
由对勾函数图像性质知， 在 上单调递减，在 上单调递增
（i）当 时， 在 上单调递减，故
（ii）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
综上：
【点睛】本题考查对勾函数函数的单调性，对于函数 ，其在
和 上单调递增，在 和 上单调递减。
20.已知函数 为二次函数，且
求 的解析式
若 在 的最小值为 ，求 的值
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
( )1
3
2 32
m n
m n
+ = + =
2
1
m
n
=
=
( )2 ( )1 ( )
1
1 22 2f x x xx x
= + = +
( )f x 20, 2
2 ,2
+∞
20 2a< ≤ ( )f x ( ]0,a
( )min
12f f a a a
= = +
2
2a > ( )f x 20, 2
2 ,2 a
min
2 2 22f f
= =
min
1 22 ,0 2
22 2, 2
a aaf
a
+ < ≤=
>
( 0, 0)by ax a bx
= + > > ( , )b
a
−∞ −
( , )b
a
+∞ ( ,0)b
a
− (0, )b
a
( )f x ( ) ( ) 21 2 4f x f x x− + = +
( )1 ( )f x
( )2 ( ) ( )g x f x kx= − [ ]0,2 1 k
( ) 2 2f x x x= + + 3
（1）设 ，由 ，利用待定系数法，列方程组求
出 a，b，c 的值，从而求出函数的解析式；
（2） 的图象是开口朝上，且以直线 为对称轴
的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，可得不同情况下 的方程，解方程即可．
【详解】解： 设
，解得 ，
的对称轴为
（i）当 ，即 时， 在 上单调递减，则
由 得 ，舍去
（ii）当 ，即 时， 在 上单调递增，则
，舍去
（iii）当 ，即 时
由 得 （ 舍去）
综上： 的值为
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是
解答的关键．
21.已知函数
2( )f x ax bx c= + + ( ) ( ) 21 2 4f x f x x− + = +
( ) ( ) ( )2 1 2g x f x kx x k x= − = + − + 1
2
kx
−=
k
( )1 ( ) ( )2 0f x ax bx c a= + + ≠
( ) ( )2 21 1a x b x c ax bx c∴ − + − + + + +
( )2 22 2 2 2 2 4ax b a x a b c x= + − + − + = +
2 2
2 2 0
2 4
a
b a
a b c
=
∴ − =
− + =
1
1
2
a
b
c
=
=
=
( ) 2 2f x x x∴ = + +
( )2 ( ) ( )2 1 2g x x k x= + − + 1
2
kx
−=
1 22
k − ≥ 5k ≥ ( )g x [ ]0,2
( )min 2 8 2f f k= = −
8 2 1k− = 7
2k =
1 02
k − ≤ 1k ≤ ( )g x [ ]0,2
( )min 0 2f f= =
10 22
k −< < 1 5k< <
2
min
1 2 7
2 4
k k kf f
− − + + = =
2 2 7 14
k x− + + = 3k = 1−
k 3
( ) 3,f x x x R= − ∈
（1）判断函数 的单调性并用定义证明；
（2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围。
【答案】（1） 在 上是减函数，证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）设 且 ，作差 后判断其符号即可证得 在 R 上的单调
性；
（2）利用参数分离法将不等式 恒成立，进行转化函数的最值问题，求
m 的取值范围；
【详解】解： 证明，任取 ，且 ，则
由 ，得
又
因为 不能同时为零，所以
故 ，即
故 在 上是减函数
由题意易得， 为 上的奇函数，
由 ，得
又由 知， 在 上是减函数，
故 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立
( )f x
( 2) ( ) 0f mx f x− + < ( ], 2x∈ −∞ − m
( )f x R 2m < −
1 2,x x R∈ 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x− ( )f x
( 2) ( ) 0f mx f x− + <
( )1 1 2,x x R∈ 1 2x x<
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3
1 2 1 2 2 1f x f x x x x x− = − − − = −
( )( )2 2
2 1 2 1 2 1x x x x x x= − + +
1 2x x< 2 1 0x x− >
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1 1
1 3 02 4x x x x x x x + + = + + ≥
2 1 1
1 ,2x x x+ 2 2
2 1 2 1 0x x x x+ + >
( ) ( )1 2 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x>
( )f x R
( )2 ( )f x R
( ) ( )2 0f mx f x− + < ( ) ( ) ( )2f mx f x f x− < − = −
( )1 ( )f x R
2mx x− > − ( ], 2x∈ −∞ −
21m x
+ < ( ], 2x∈ −∞ −
而 在 上单调递减，故 即可
即
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法
是解决不等式恒成立问题的基本方法．
22.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）是否存在非负实数 ，使得当 时，函数 的值域为 若
存在，求出所有 的值；若不存在，说明理由
【答案】（1） （2）存在 符合题意，详见解析
【解析】
【分析】
（I）根据 时 的表达式，利用函数是定义在 上的奇函数，求出当 时
的表达式，再由 ，即可写出函数 分段函数形式的解析式；
（2）假设存在满足条件的 a，b， 由 可得 ，由此可知 在
上的单调性，从而可以列方程求解。
【详解】解： 由题意，当 时，
则 ，由 是定义在 上的奇函数
得 ，且
综上：
假设存在这样的 符合题意，
2y x
= ( ], 2−∞ −
min
21 1m x
+ < = −
2m < −
( )f x R 0x > ( ) 2 2f x x x= −
( )f x R
( ),a b a b< [ ],x a b∈ ( )f x [ ], ?b a− −
,a b
( )
2
2
2 , 0
0, 0
2 , 0
x x x
f x x
x x x
− >
= =
− − <
0, 1a b= =
0x > ( )f x R 0x < ( )f x
( )0 0f = ( )f x
( ) 2 2 1f x x x= − ≥ − 1b ≤ ( )f x
[ ],x a b∈
( )1 0x < 0x− >
( ) ( ) ( )2 22 2f x x x x x− = − − − = + ( )f x R
( ) ( ) 2 2f x f x x x= − − = − − ( )0 0f =
( )
2
2
2 , 0
0, 0
2 , 0
x x x
f x x
x x x
− >
= =
− − <
( )2 ,a b
由题意知，
由 知，当 时， ，
故 ，即 ，
故 在 上单调递减，从而有
，即 是方程 的两个根，解得
故假设成立，即存在 符合题意。
【点睛】本题着重考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，特别是第（2）问，通过条件判断
出 ，从而知道了 在 上的单调性，避免了分类讨论，属于中档题．
0, 0,a b a b≥ ≥ <
( )1 0x ≥ ( ) 1f x ≥ −
1b− ≥ − 1b ≤
( )f x [ ],a b
( )
( )
f a a
f b b
= − = −
,a b 2 2x x x− = − 0
1
a
b
=
=
0, 1a b= =
1b ≤ ( )f x [ ],a b