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- 2021-04-17 发布
2017-2018 高二 级第二次联考试卷
文科数学
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 ( )
A．[-1,3] B．[-1,2] C．(1,3] D．(1,2]
2.下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3..经过圆 的圆心 ，且与直线 平行的直线方程为( )
A． B． C．
D．
4.过 ,圆心在 轴上的圆的方程为（ ）
A． B．
C. D．
5.设变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A．6 B．8 C.10 D．12
6. 阅读下面的程序框图，则输出的 等于（ ）
})(|{ 01 ≤−= xgxA }|{ 31 ≤≤−= xxB =BA
），（ ∞+0
3xy = xy cos=
xy 1= ||ln xy =
0222 =++ yyx C 0432 =−+ yx
0232 =++ yx 0332 =++ yx 0332 =−+ yx
0223 =−− yx
)(),( 3111 ，， BA − x
102 22 =−+ )(yx 102 22 =++ )(yx
102 22 =++ yx )( 102 22 =+− yx )(
yx,
≤
−≥+
≤+
xy
yx
yx
1
22
yxz −= 2
S
A．14 B．20 C. 30 D．55
7.已知 ，且 ，函数 在同一坐标系中的图象可能
是( )
A． B． C.
D．
8.将函数 的图像向右平移 个单位后所得的图像的一个对称轴是
（ ）
A． B． C. D．
9.已知两直线 两平面 ，且 .则下面四个命题中正确的有（ ）
个.
①若 ，则有 ； ②若 ，则有 ；
③若 ，则有 ； ④若 ，则有 .
A．0 B．1 C.2 D．3
0>a 1≠a axyayxy x
a +=== ,,log
)sin(
32
π+= xy 12
π=x
6
π=x 4
π=x 3
π=x 2
π=x
nm、 βα、 βα ⊂⊥ nm ,
βα // nm ⊥ nm ⊥ βα //
nm // βα ⊥ βα ⊥ nm //
10.若点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为（ ）
A．（5,1） B．（1,5） C. （-7，-5） D．（-5，-7）
11.已知一个球的表面上有 三点，且 ，若球心到平面
的距离为 1，则该球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
12.当点 在圆 上变动时，它与定点 的连结线段 的中点的轨迹方程
是( )
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知 为等差数列，若 ，则数列 的通项公式为 ．
14.已知直线 与 垂直，则 的值
是 ．
15.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 ．
16.直线 ，对任意 直线 恒过定
点 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17. 设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且 .
(I)求 的大小；
)( 42，A B 03 =+− yxl : B
CBA 、、 32=== BCACAB
ABC
π20 π15 π10 π2
P 122 =+ yx )( 03，Q PQ
43 22 =++ yx )( 1432 22 =+− yx )(
13 22 =+− yx )( 1432 22 =++ yx )(
}{ na 06 531 =+= aaa , }{ na
01531 =+−+− ykxkl )()(: 032322 =+−− yxkl )(: k
022 =+−−++ nmynmxnml )()(: Rnm ∈, l
ABC CBA ,, cba ,, Aba sin2=
B
(II)若 ，求 .
18.已知数列 的前 项和， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ,
, .
(1)求证： ；
(2)求多面体 的体积.
20. 2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严
重的污染过程，为了探究车流量与 的浓度是否相关，现采集到华中某城市 2015 年
12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 的数据如表：
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
车流量 （万辆） 1 2 3 4 5 6 7
的浓度
（微克/立方米）
28 30 35 41 49 56 62
(1)由散点图知 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；（提示数据：
）
(2)利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 的浓度.
参考公式：回归直线的方程是 ，
533 == ca , b
}{ na n 2
3 2 nnSn
−=
}{ na
1
1
+
=
nn
n aab }{ nb n nT
ABCDP − ⊥PD 2=== BCDCPDABCD，
DCABDCAB //,2= 90=∠BCD
BCPC ⊥
PBCA −
52.PM
52.PM
x
52.PM
y
y x y x
∑
=
=
7
1
1372
i
ii yx
52.PM
axby ˆˆˆ +=
其中 .
21.如图1，在直角梯形 中， ，且 ．现
以 为一边向形外作正方形 ，然后沿边 将正方形 翻折，使 平
面与平面 垂直， 为 的中点，如图 2．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求点 到平面 的距离.
21.已知过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 两点.
(1)求 的取值范围；
(2) ,其中 为坐标原点，求 .
xbya
xx
yyxx
xnx
yxnyx
b n
i i
n
i ii
n
i i
n
i ii ˆˆ,
)(
))((ˆ −=
−
−−
=
−
⋅−
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
1
2
1
1
22
1
ABCD ADABCDAB ⊥,// 12
1 === CDADAB
AD ADEF AD ADEF ADEF
ABCD M ED
//AM BEC
⊥BC BDE
D BEC
)( 10，A k l 132 22 =−+− )()(: yxC NM,
k
12=⋅ ONOM O MN
高二 级第二次联考文科数学试卷
一、选择题
1-5: DDBDC 6-10:CAACB 11、12：AB
二、填空题
13. 14.1 或 4 15. 16.
三、解答题
17.解(I)由 ，根据正弦定理得 ，且 所以
，由 为锐角三角形得 .
(II)根据余弦定理，得 .
所以， .
18.解：(1)当 时，
，
当 时，由 ，符合上式
所以 的通项公式为 .
(2)由 ，可得 ，
.
19.(I) 面 面
面
nan 28 −= π33
Aba sin2= ABA sinsinsin 2= 0≠Asin
2
1=Bsin ABC∆
6
π=B
74525272222 =−+=−+= Baccab cos
7=b
2≥n
232
113
2
3 22
1 −=−−−−−=−= − nnnnnSSa nnn
)()(
1=n 111 == Sa
}{ na 23 −= nan
23 −= nan
+−−=+−==
+ 13
1
23
1
3
1
1323
11
1 nnnnaab
nn
n ))((
1313
1
23
1
7
1
4
1
4
113
1
21 +=
+−−++
−+
−=+++=
n
n
nnbbbT nn
⊥PD ⊂BCABCD, ABCD
BCPD ⊥∴
90=∠BCD
CDBC ⊥∴
DCDPD =
⊥∴ BC PCD
又 面
(II)解：连接
平面
为直角三角形且 为直角.
20.试题分析：(1)由数据可得：
，（注:用另一个公式求运算量小些）
故 关于 的线性回归方程为 .
(2)当车流量为 12 万辆时，即 时， .故车流量为 12 万辆时，
的浓度为 91 微克/立方米.
21.解：(1)证明：取 中点 ，连结 .
在 中， 分别为 的中点，
所以 ,且 .
由已知 ,
所以四边形 为平行四边形.
⊂PC PCD
BCPC ⊥∴
AC
⊥PD ABCD
PDSV ABCPBCA ⋅⋅=∴ ∆− 3
1
90=∠BCDDCAB ,//
ABC∆∴ ABC∠
DCABBCDCPD 22 ==== ，
3
82242
1
3
1
2
1
3
1
3
1 =××××=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∴ ∆− PDBCABPDSV ABCPBCA
476543217
1 =++++++= )(x
43625649413530287
1 =++++++= )(y ∑ ∑
= =
==
7
1
7
1
2 1401372
i i
iii xyx ,
6112140
12041372
1
22
1 =−
−=
−
⋅−
=
∑
∑
=
=
n
i i
n
i ii
xnx
yxnyx
bˆ
196443 =×−=−= xbya ˆˆ
y x 196 += xyˆ
12=x 9119126 =+×=yˆ
52.PM
EC N BNMN,
EDC∆ NM, EDEC,
CDMN // CDMN 2
1=
CDABCDAB 2
1=,//
ABNM
所以 .
又因为 平面 ,且 平面 ，
所以 平面 .
(2)证明：在正方形 中， ,
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ,
所以 平面 .
所以
在直角梯形 中， ,可得 .
在 中， .
所以 .
所以 平面 .
(3)由(2)知，
所以 ,又因为 平面
又 .
所以， 到面 的距离为
22.解：(I)由题设，可知直线 的方程为 .
因为直线 与圆 交于两点，所以 .
解得 .
所以 的取值范围为 .
(II)设 .
将 代入圆 的方程 ，整理得
.
AMBN //
⊂BN BEC ⊄AM BEC
//AM BEC
ADEF ADED ⊥
⊥ADEF ABCD ADEFI ADABCD =
⊥ED ABCD
BCED ⊥
ABCD 21 === CDADAB ， 2=BC
BCD∆ 22222 CDBCBDCDBCBD =+=== ，，
BDBC ⊥
⊥BC BDE
BDBCBEBC ⊥⊥ ,
1222
1
2
1 =⋅⋅=⋅=∆ BCBDS BCD ⊥ED ABCD
3
1
3
1 =⋅== ∆−− DESVV BCDBCEDBCDE
D BEC 3
6
l 1+= kxy
l C 1
1
132
2
<
+
+−
k
k
3
74
3
74 +<<−
k
k ),(
3
74
3
74 +−
),(),,( 2211 yxNyxM
1+= kxy C 132 22 =−+− )()( yx
07141 22 =++−+ xkxk )()(
所以 .
由题设可得 ，解得 ，所以 的方程为 .
故圆 的圆心（2,3）在 上，所以 .
221221 1
7
1
14
k
xx
k
kxx +
=
+
+=+ ,)(
2121 yyxxONOM +=⋅
11 2121
2 ++++= )()( xxkxxk
8
1
14
2
+
+
+=
k
kk )(
128
1
14
2
=+
+
+=
k
kk )( 1=k l 1+= xy
C l 2=MN