2018-2019学年内蒙古包头四中高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版） 10页

包头四中2018-2019学年度第二学期期中考试 高二年级数学（理科）试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3,则点P到另一个焦点的距离为(　　)‎ A．3 B．5 C．7 D．9[]‎ ‎3．抛物线的焦点坐标是(　　)‎ A．（0,1） B．（0，） C．（1,0） D．（，0）‎ ‎4．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎5．曲线在点处的切线方程为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若直线的方向向量为，平面a的法向量为，则可能使的是(　　)‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎8．已知的导函数为，且满足，则(　　)‎ A．-2 B．2 C．-1 D．1‎ ‎9．如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．若函数在 上是减函数，则 的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数在区间内有极大值，则的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则__________．‎ ‎14． ．‎ ‎15．双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a= ．‎ ‎16．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________ .‎ 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线AE和平面OBC的所成角.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知焦点为的抛物线： 过点，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求在上的单调区间；‎ ‎（2）求在上的最大值．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴，离心率，短轴长为4.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，求AB的中点坐标及其弦长|AB|.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且， ,‎ ‎，点分别为、、的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ 22． ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数，且时有极大值.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）.‎ 包头四中2018-2019学年度第二学期期中考试 高二年级数学（理科）试题答案 满分：150分 考试时间：120分钟 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D B A C A B C B A D C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13． 14．18 15．2 16．‎ 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.‎ ‎17．（10分）‎ ‎【详解】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，‎ ‎（1），，故 ‎，所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）平面的法向量为，，故 ‎，因，故，故与平面所成的角为.‎ ‎18．(本小题满分12分 试题解析：‎ ‎（1）由得 ，；‎ ‎（2）由得所以斜率为 直线方程为得，所以的面积是.‎ ‎19．(本小题满分12分 ‎（1） 函数 的导数为 ，‎ 曲线 在点 处的切线斜率为 ，‎ 切点为 ，‎ 由切线方程为 ，可得 ， ，‎ 解得 ． 函数 的导数 ，由 ，可得 或 ；由 ，可得 ．则 f(x) 的增区间为 ， ；减区间为 ．‎ ‎（2） 由(1)可得 f(x) 的两极值点-2, ，‎ ‎ ， ，‎ 又 ， ．‎ 故 y=f(x) 在 上的最大值为 13．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：（1），………2分 设 ‎ ‎ ………5分 ‎………6分 ‎(2)椭圆的右焦点为（1，0），设A() B()‎ ‎ 解得………9分 设AB中点坐标为，则 所以AB的中点为………11分 法一：……13分 法二：‎ ‎21．(本小题满分12分 ‎（1）在直角中，，，，‎ 棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ ‎（2）依题意得，，，，，，，，‎ 设面的一个法向量为， ‎ 由，得，令，得，‎ 同理可得面的一个法向量为，‎ 故二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎22．(本小题满分12分 ‎（Ⅰ）由，因为在时f(x)有极大值，‎ 所以，从而得或， ‎ 时，，此时，当时，，当时，，∴在时f(x)有极小值，不合题意，舍去； ‎ 时，，此时，符合题意。‎ ‎∴所求的 . ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于，即， ‎ 记，则,‎ 由，得x＞k+1，所以在(0, k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，‎ 所以，‎ 对任意正实数恒成立，等价于，‎ 即， ‎ 记因为在(0,+∞)上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值为4.‎