【数学】2020届数学文一轮复习第九章第10讲定点、定值、探索性问题作业 5页

‎1．(2019·郑州质量预测(一))已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则·的值为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B.4‎ C．5 D．与P的位置有关 解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.‎ ‎①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由，得，此时·＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，·＝3.‎ ‎②当y0≠0时，直线l的方程是y＝(x0x－4)．由，得(4y－x)x2＋8x0x－16＝0(*)，又x－4y＝4，因此(*)即是－4x2＋8x0x－16＝0，x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.‎ 综上所述，·＝3，选A.‎ ‎2．(2019·湖南湘中名校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则则＋＋＝________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＝－，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0.‎ 答案：0‎ ‎3．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：直线AB恒过定点．‎ 解：(1)设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.‎ 所以E的方程为x2＝8y.‎ ‎(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 将直线AB的方程代入x2＝8y中，‎ 得x2－8kx－8b＝0，‎ 所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.‎ ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，‎ 所以直线AB恒过定点(0，4)．‎ ‎4．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A，B两点．当m＝0时，·＝－.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值．‎ 解：(1)因为离心率为，‎ 所以＝.‎ 当m＝0时，l的方程为y＝x，‎ 代入＋＝1并整理得x2＝.‎ 设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，‎ ·＝－x－y＝－x＝－·.‎ 又因为·＝－，‎ 所以a2＝25，b2＝16，‎ 椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：l的方程为x＝y＋m，‎ 代入＋＝1，‎ 并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，‎ 同理|PB|2＝y.‎ 则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝·＝41.‎ 所以|PA|2＋|PB|2为定值．‎ ‎1．(2019·长沙模拟)如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ过定点B(1，0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．‎ ‎(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；‎ ‎(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.‎ 证明：(1)设AE切圆Γ于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，‎ 故|EM|＝|EB|.‎ 从而|EA|＋|EB|＝|AM|＝＝＝＝＝4.‎ 所以|EA|＋|EB|为定值4.‎ ‎(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4，‎ 故E，F均在椭圆＋＝1上．‎ 设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)．‎ 令x＝4，求得y＝，即Q点纵坐标yQ＝.‎ 由得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.‎ 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ 则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.‎ 因为E，B，F，Q在同一条直线上，‎ 所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)，‎ 即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，‎ 等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.‎ 将y1＋y2＝－，y1y2＝－代入，‎ 知上式成立．‎ 所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.‎ ‎2．(2019·广州综合测试(一))过点P(a，－2)作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)证明：x1x2＋y1y2为定值；‎ ‎(2)记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，‎ 试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．‎ 解：(1)证明：由x2＝4y，得y＝x2，所以y′＝x，‎ 所以直线PA的斜率为x1.‎ 因为点A(x1，y1)在抛物线C上，所以y1＝x，‎ 所以直线PA的方程为y－x＝x1(x－x1)．‎ 因为点P(a，－2)在直线PA上，‎ 所以－2－x＝x1(a－x1)，‎ 即x－2ax1－8＝0.‎ 同理，x－2ax2－8＝0.‎ 所以x1，x2是方程x2－2ax－8＝0的两个根，‎ 所以x1x2＝－8.‎ 又y1y2＝x·x＝(x1x2)2＝4，‎ 所以x1x2＋y1y2＝－4，为定值．‎ ‎(2)直线PA的垂直平分线方程为y－＝－，‎ 由于y1＝x，又由(1)得x－8＝2ax1，‎ 所以直线PA的垂直平分线方程为 y－＝－.①‎ 同理，直线PB的垂直平分线方程为y－ ‎＝－.②‎ 由①②解得x＝a，y＝1＋，‎ 所以点M.‎ 抛物线C的焦点为F(0，1)，则＝，‎ ＝(－a，3)，‎ 所以·＝－＝0，‎ 所以⊥，‎ 所以以PM为直径的圆恒过点F.‎