高二数学下学期期中试题 理（含解析） (2) 17页

‎【2019最新】精选高二数学下学期期中试题 理（含解析） (2)‎ 数学（理科）试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:先化简集合A,再求A∩B.‎ 详解：由题得={x|-2＜x＜3}，‎ ‎∴A∩B=.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查集合的交集运算，属于基础题,注意表示的是正整数集，不包含0......................‎ ‎2. 复数的实部与虚部的和等于 A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先化简复数z,再写出复数z的实部与虚部，最后求其实部与虚部的和.‎ 详解：由题得z=1+2i 所以复数z的实部是1，虚部是2，‎ - 17 - / 17‎ 所以其实部与虚部的和为3.‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算、复数的实部与虚部，属于基础题.注意复数的虚部是“i”的系数，不包含“i”.‎ ‎3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用函数的奇偶性的判断方法判断奇偶性，利用图像或函数单调性的性质判断函数的单调性.‎ 详解：对于A选项，，所以函数不是奇函数，所以不选A.‎ 对于B选项，，所以函数是偶函数，不是奇函数，所以不选B.‎ 对于C选项，所以函数是奇函数，但是函数在上不是单调递增的，所以不选C.‎ 对于D选项，，所以函数是奇函数，又因为其是上的增函数（增+增=增）.所以选D 故选D.‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判断和函数单调性的判断，属于基础题.‎ ‎4. 已知函数，则=‎ A. 1 B. 0 C. D. ‎ - 17 - / 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求导，再求，再化简得解.‎ 详解：由题得，‎ ‎∴.‎ 因为=，‎ ‎∴=1‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.‎ ‎5. 已知某物体作变速直线运动，其速度单位：m/s）关于时间（单位：）的关系是，则在第2s至第3s间经过的位移是 A. 10m B. 11m C. 12m D. 13m ‎【答案】B ‎【解析】分析：先利用定积分表示出在第2s至第3s间经过的位移，再求定积分即得在第2s至第3s间经过的位移.‎ 详解：由题得在第2s至第3s间经过的位移为.‎ ‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查定积分的实际应用和定积分的运算，属于基础题.‎ ‎6. 已知实数，满足不等式组则的最大值为 A. 5 B. 10 C. 11 D. 13‎ - 17 - / 17‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先作出不等式组对应的可行域，再作出直线，最后数形结合分析得到函数的最大值.‎ 详解：不等式组对应的可行域如图所示：‎ 由得，‎ 当直线经过点B(3，2)时，直线的纵截距最大，z最大.‎ 所以.‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中的最值问题，属于基础题.‎ ‎7. ①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，，求证与中至少有一个不小于，用反证法证明时，可假设，且.则 A. ①的假设正确，②的假设错误 B. ①的假设错误，②的假设正确 C. ①与②的假设都错误 D. ①与②的假设都正确 ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用命题的否定的知识分析判断.‎ 详解：对于①，用反证法证明时，应假设a,b不都等于1，而不是假设且，所以①的假设错误.‎ 对于②，用反证法证明时，可假设，且.所以②的假设正确.‎ 故选B.‎ - 17 - / 17‎ 点睛：本题主要考查反证法和命题的否定，属于基础题.‎ ‎8. 设曲线在处的切线与直线垂直，则=‎ A. 0 B. 1 C. -1 D. -2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由点（0,1）在曲线上得到b的值，再根据切线与直线y=x+5垂直得到a的值，即得a+b的值.‎ 详解：∵点（0,1）在曲线上，‎ ‎∴1=0+b×1，‎ ‎∴b=1.‎ 由题得，‎ ‎∴‎ ‎∵切线与直线垂直，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=-2.‎ ‎∴a+b=-1.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查求导和导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎9. 将石子摆成如图的梯形形状，各图中的石子数5，9，14，…依次构成数列，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 17 - / 17‎ ‎【解析】分析：根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．‎ 详解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：‎ n=1时，a1=2+3=×（2+3）×2；‎ n=2时，a2=2+3+4=×（2+4）×3；‎ ‎…‎ 由此我们可以推断：‎ an=2+3+…+（n+2）=[2+（n+2）]×（n+1）‎ ‎∴a2018﹣9=×[2+（2018+2）]×（2018+1）﹣9=．‎ 故选C.‎ 点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎10. 如图所示，某学习小组10名同学的一次测试成绩用茎叶图统计，其中甲同学的分数的个位数字模糊不清，在图中用表示，则甲的分数大于这10名同学平均分的概率为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A - 17 - / 17‎ ‎【解析】分析：先计算出10个数的平均数，再根据甲的分数大于这10名同学平均分得到甲的分数的可能情况，最后求概率.‎ 详解：由题得，‎ 所以，‎ ‎∴x>4.‎ ‎∵，‎ ‎∴x=5,6,7,8,9.‎ 故甲的分数大于这10名同学平均分的概率为.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查茎叶图、平均数和古典概型，属于基础题.‎ ‎11. 函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是 A. 直线是图象的一条对称轴 B. 点是图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的最大值为 ‎【答案】C ‎【解析】分析:先求函数f(x)的解析式，再逐一研究函数的图像和性质，找到答案.‎ 详解:由题得,‎ ‎∴.‎ 由题得,‎ - 17 - / 17‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 对于选项A,把代入f(x)的解析式得，函数取到最大值，所以直线是图象的一条对称轴,所以选项A正确.‎ 对于选项B,把点代入f(x)的解析式成立，所以点是图象的一个对称中心，所以选项B正确.‎ 对于选项C,令所以区间不是函数的减区间，所以选项C错误.‎ 对于选项D,因为x∈，所以，所以f在区间上的最大值为,所以选项D正确.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像和性质，要求这些基础知识比较熟练，属于基础题.‎ ‎12. 函数的定义域为，其导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2018，求得g（0）=2018，继而求出答案．‎ 详解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，‎ - 17 - / 17‎ ‎∴f′（x）﹣f（x）＜0，于是有（）′＜0，‎ 令g（x）=，则有g（x）在R上单调递减，‎ ‎∵f（0）=2018，∴g（0）=2018，‎ ‎∵不等式f（x）＞2018ex，‎ ‎∴g（x）＞2018=g（0），‎ ‎∴x＜0.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知复数z满足，则z的共轭复数z=__________.‎ ‎【答案】1-3i ‎【解析】分析：先求出复数z,再求复数z的共轭复数.‎ 详解:由题得，‎ 所以复数z的共轭复数为1-3i.‎ 故填1-3i.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算与共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎14. 已知，，若a⊥(a+b)，则向量a与b的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:由得到，再化简即可得到两向量的夹角.‎ 详解:由题得 - 17 - / 17‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 故填.‎ 点睛：本题主要考查向量垂直和向量的数量积，属于基础题.‎ ‎15. 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一人得了满分，当他们被问到谁得了满分时，‎ 丙说：甲得到满分；‎ 乙说：我得了满分；‎ 甲说：丙说的是真话.‎ 事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是真话，那么得满分的同学是__________.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】若甲得满分,则丙说的是真话,乙说的是假话，甲说的是真话，则满足条件，若乙得满分，则丙说的是假话，乙说的是真话，甲说的是假话，则不满足条件，若丙得满分，则丙说的是假话，乙说的是假话，甲说的是假话，则不满足条件，故得满分的是甲，故答案为丙.‎ ‎16. 平面几何中有如下结论：正方形的内切圆面积为，外接圆面积为，则.推广到空间可以得到类似结论：已知正方体的内切球体积为，外接球的体积为，则__________.‎ ‎【答案】‎ - 17 - / 17‎ ‎【解析】分析：先求出内切球的半径和外接球的半径，再求的值.‎ 详解：设正方体的边长为a, 所以正方体的内切球半径为，外接球的半径为，‎ ‎∴ .‎ 故填.‎ 点睛：本题主要考查几何体的内切球和外接球的体积，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知复数.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若复数z是方程的一个根，求实数，的值.‎ ‎【答案】（1）（2）a=b=2.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先求出z,再求|z|. (Ⅱ)把z的值代入方程化简，再根据复数相等的概念概念得到实数a,b的值.‎ 详解：（Ⅰ）.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）因为复数z是方程的一个根，‎ 所以， ‎ 所以解得a=b=2.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.‎ ‎18. 用数学归纳法证明：对于任意的，.‎ - 17 - / 17‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：按照数学归纳法的原理证明不等式.‎ 详解：当n=1时，左边右边，命题成立. ‎ 假设当命题成立，即； ‎ 当n=k+1时，左边 ‎，‎ 即当n=k+1时，命题成立. ‎ 综上所述，对于任意的，.‎ 点睛：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属于基础题.‎ ‎19. 已知数列的首项，.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用等差数列的定义证明数列是等差数列. （Ⅱ）先计算出再利用裂项相消求出，再证明不等式：.‎ 详解：（Ⅰ）由于，，显然，‎ 所以两边同除以可得，，‎ 所以数列是1为首项，2为公差的等差数列. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ‎ 所以.‎ - 17 - / 17‎ 所以， ‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的证明和裂项相消求和，属于基础题.‎ ‎20. 已知函数，若曲线在点处的切线斜率为1，且x=1时，y=f(x）取极值.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）若方程有三个不同的实数根，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为4，最小值为-146.（3）‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据已知条件得到关于a,b的方程组，再解方程得到a,b的值，即得函数的解析式. （Ⅱ）先求出函数在上的极值和端点函数值，再比较它们，即得函数在上的最大值和最小值. （Ⅲ）先作出函数y=f(x)的图像，再观察它和直线y=m的关系得到实数m的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ）， ‎ 由题意得，解得 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 令，得， ‎ ‎，的值随x的变化情况如下表：‎ - 17 - / 17‎ x ‎-4‎ ‎（-4,1）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数值 ‎-146‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴在[-4,2]上的最大值为4，最小值为-146. ‎ ‎（Ⅲ）方程f(x)=m有三个不同的实数根，即的图象与直线y=m有三个交点.‎ 由（Ⅱ）分析可得，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，而，，所以.‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义、导数求函数的最值和导数研究函数的零点问题，属于中档题.‎ ‎21. 已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）斜率为-1的直线l交抛物线C于不同两点A，B，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 - 17 - / 17‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据已知得到p的值，即得到抛物线C的标准方程. （Ⅱ）先利用韦达定理求出，再利用基本不等式证明不等式.‎ 详解：（Ⅰ）由，所以椭圆在右焦点F(1,0)，‎ ‎∴，即p=2.‎ 所以抛物线C的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=-x+b，将它代入抛物线.‎ 得，设，‎ 则，.‎ 又由直线l交抛物线C于不同两点A，B，‎ 可得，所以.‎ 而， ‎ 令t=b+3，则t>2.‎ 所以 ‎.‎ 当，即，时，等号成立.‎ 点睛：求变量的取值范围常用函数的方法.一般先求变量的解析式，再求函数的定义域，再求函数的取值范围. 所以本题先求利用韦达定理求出，再求b的范围，最后利用基本不等式证明不等式.这种方法在高中数学中常用，大家要注意理解掌握和灵活运用.‎ - 17 - / 17‎ ‎22. 某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.‎ ‎（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？‎ ‎（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.‎ ‎（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）‎ ‎【答案】（1）投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（2）4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大 ‎【解析】分析：（Ⅰ）先写出收益f(t)的解析式，再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t 的值. （Ⅱ）设由此增加的收益是g(x)百万元,再写出g(x)的解析式，再利用导数求函数的最值，即得资金分配方案.‎ 详解：（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，‎ 则由， ‎ ‎∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大. ‎ - 17 - / 17‎ ‎（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.‎ 则.‎ ‎.‎ 则当时，；当时，.‎ ‎∴当x=4时，g(x)取得最大值.‎ 即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.‎ 点睛：对于最值问题，常用的是函数的思想.先求出函数的解析式，再求出函数的定义域，再选择方法求函数的最值.函数的思想是高中数学的重要思想，要理解掌握灵活运用.‎ - 17 - / 17‎