2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 9页

内蒙古鄂尔多斯市第一中学 2018~2019学年第二学期期中考试试题 高二理科数学 ‎【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）‎ A． B．0 C．0或1 D．1‎ ‎3 .设函数，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 展开式中的常数项为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知是直线，是平面，给出下列命题：‎ ‎①若； ②若；‎ ‎③若；④若与异面，且相交； ‎ ‎⑤若与异面，则至多有一条直线与，都垂直. 其中真命题的个数是 ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 6. 设，若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D．‎ ‎7. 过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若，则实数（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ 8. 曲线在点处的切线与直线和所围成的三角形的面积为(　　)‎ A. ‎ B. C. D．1‎ ‎9. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，恒不为0，当时，，且，则不等式的解集是(　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10. 若一个三位数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：等，则不超过的“单重数”中，从小到大排列第个“单重数”是（ ）‎ A． 171 B． 181 C．191 D．188‎ ‎11．由偶数组成的数阵如右图：‎ 则第行第列的数为（ ）‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎12. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡指定位置）‎ ‎13．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{an}的公比为___‎ ‎14．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_____．‎ ‎15. 现有分别印有0,1,3,5,7,9六个数字的六张卡片，如果允许9可以当6使用，那么从中任意抽出三张，可以组成不同的三位数有________个. (数字作答）‎ 16． 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，‎ ‎,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离___________.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ 17． ‎（本小题满分10分）‎ 在△中，已知，其中.‎ ‎（Ⅰ）判断能否等于3，并说明理由； ‎ ‎（Ⅱ）若，，，求． ‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知是函数的一个极值点（）．‎ （I） 求实数的值； ‎ （II） 求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 乙 ‎ 1 2 0‎ ‎7 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a ‎8 6 2 1 0 1 2 4 4 ‎ 甲 ‎ 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.‎ ‎（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；‎ ‎（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列.‎ ‎（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量 10， 则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为 ‎，试比较，，的大小（结论不要求证明）‎ ‎20. （本小题12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面 ‎，且四边形为矩形，，，，为的中点,为上的点且，在线段上（不包括端点）．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ 21. 已知点和点，分别过点的直线相交于点，设直线的斜率分别为.‎ ‎（Ⅰ）如果，求点的轨迹方程，并根据的取值讨论此轨迹是何种曲线；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的曲线为，若不平行于坐标轴的直线与曲线交于点,线段的中点为，为坐标原点，设直线与的斜率分别为, 求证：.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ （I） 若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；‎ （II） 若，设，求证：当时，‎ 不等式成立．‎ ‎2018~2019学年高二第二学期期中考试试题 ‎（理科数学）‎ 一． CDDCAB ABDCAB 二． ‎13. 14 . 甲 15. 152 16. ‎ 三．17.解：（Ⅰ）当时，由题可知 ，‎ 由余弦定理的变形得 ………………2分 这与矛盾，所以不可能等于3 ……………… 4分 ‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ），得 ，所以. ‎ ‎ 因为，，，‎ ‎ 所以，解得（舍）或. ……………… 8分 ‎ ‎ 在△中，由正弦定理， 得. ……………… 10分 ‎ 18.解：（I）由可得 ‎ …… 2分 ‎∵是函数的一个极值点，∴‎ ‎∴，解得 …………… 4分 经检验时是函数的一个极值点，∴ …… 1分 ‎（II）由，得在递增，在递增，‎ 由，得在在递减 ‎∴是在的最小值； ……………8分 ‎， ∵‎ ‎∴在的最大值是． ……………12分 ‎19.解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，‎ ‎ 乙组10名学生阅读量的平均值为.‎ ‎ ……………… 2分 ‎ 由题意，得，即. ……………… 3分 ‎ 故图中a的取值为或. …………… 4分 ‎ （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人. ‎ ‎ 由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3. ………… 5分 ‎ 且，， ………… 8分 ‎ ‎ 所以随机变量的分布列为： ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ………… 10分 ‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎. ……………… 12分 ‎20.（Ⅰ）证明：在矩形中，，‎ ‎∵矩形平面，且平面平面，‎ ‎∴平面， ‎ 又平面，∴， ……………… 2分 ‎ ‎∵，为的中点，∴，‎ 又，∴平面， ……………… 4分 ‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面． ……………… 5分 ‎ ‎（Ⅱ）在平面内作的垂线，如图建立 空间直角坐标系，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，，‎ ‎，设 ∴ ‎ 由（Ⅰ）知面的一个法向量 ……………… 7分 ‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴即 令，则，‎ ‎∴是平面的一个法向量， ……………… 9分 ‎ ‎∵二面角的大小∴，解得， ‎ ‎∵∴存在满足条件．此时 ……………… 12分 21. 解：（Ⅰ）令 ∵ ‎ ‎∴ 化简得 ‎ ‎ ∴点的轨迹方程为 …………… 3分 当时，点的轨迹为双曲线 当且时，点的轨迹为椭圆 当时，点的轨迹为圆 …………… 6分 ‎（Ⅱ）设，则 由（Ⅰ）知曲线的方程为即 ‎∵在曲线上 ‎∴ ① ② ……………9分 ‎①②得 ‎∴ 即 ……………12分 ‎22.解：（I）， ……………1分 ‎∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，‎ ‎∴当时，恒成立， ……………3分 即恒成立， ‎ ‎∴在时恒成立，或在时恒成立，‎ ‎∵，∴或 ………………5分 ‎（II），‎ ‎∵，即，当时 ‎∴在是减函数，‎ ‎∴当时，取最大值，‎ 当时，取最， ‎ ‎∵时 ∴ ………………8分 设，则，‎ ‎∴，∵，∴‎ ‎∴在是增函数，∴‎ ‎∴在也是增函数 ……………… 10分 ‎∴，即，‎ 而，∴‎ ‎∴当时，不等式成立． ……………… 12分