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- 2021-04-17 发布
2018-2019学年第二学期高二年级期末名校联考
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出集合和，由交、并、补的概念即可得到结果．
【详解】∵集合，，
∴，
，故A错误；，故B错误；
，故C正确；，故D错误．
故选C．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.设，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得，进而可得的虚部.
【详解】∵，
∴，
∴的虚部是，故选B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．
3.记为等比数列的前项和.若，，则（ ）
A. 2 B. -4 C. 2或-4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．
【详解】∵为等比数列的前项和，
，，
∴，解得，
∴，故选B．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）
A. B. C. 19 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断几何体的形状几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
【详解】由题意可知几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，如图：
几何体的表面积为：．
故选B．
【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.
5.已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】已知曲线，，
∴把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
6.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入万
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
支出万
5.9
7.8
81
8.4
98
根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）
A. 12.68万元 B. 13.88万元 C. 12.78万元 D. 14.28万元
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．
【详解】，．
又，∴．
∴．
取，得万元，故选A．
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．
7.已知，是相异两个平面，，是相异两直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
在A中，根据线面平行的判定判断正误；在B中，由平面与平面平行的判定定理得；在C中，当时，不妨令，，则，在D中，据线面平行的判定判断正误；
【详解】对于A，若，，则或，故A错；
对于B，若，，则由平面与平面平行的判定定理得，故B正确；
对于C，当时，不妨令，，则，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错，故选B．
【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于中档题.
8.过点的直线与函数的图象交于，两点，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. 10 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】
判断函数的图象关于点P对称，得出过点的直线与函数的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有，再计算的值．
【详解】 ，
∴函数的图象关于点对称，
∴过点的直线与函数的图象交于A，B两点，
且A，B两点关于点对称，
∴，则．
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．
9.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用点关于直线的对称点，且A在椭圆上，得，即得椭圆C的离心率；
【详解】∵点关于直线的对称点A为，且A在椭圆上，
即，∴，
∴椭圆C的离心率．
故选A．
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
10.已知，且.则展开式中的系数为（ ）
A. 12 B. -12 C. 4 D. -4
【答案】D
【解析】
【分析】
求定积分得到的值，可得的值，再把按照二项式定理展开式，可得中的系数．
【详解】∵，且，
则展开式，
故含的系数为，故选D．
【点睛】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
11.在正四面体中，点，分别在棱，上，若且
，，则四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，设，，，由余弦定理得到关于，，方程组，求解可得，的值，然后分别求出三角形的面积及A到平面的高，代入棱锥体积公式得答案．
【详解】如图，
设，，，
∵，，
∴由余弦定理得，①
②
③
③-①得，，即，
∵，则，代入③，得，
又，得，，
∴．
∴A到平面PEF的距离．
∴，故选C．
【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
12.已知：，方程有1个根，则不可能是（ ）
A. -3 B. -2 C. -1 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，可令，求得导数和单调性、最值，运用排除法即可得到所求结论．
【详解】，方程有1个根，
可得，
可令，，
可得时，，递增；时，，递减，
可得时，取得最大值，且时，，
若时，，可得舍去，方程有1个根；
若时，，可得，方程有1个根；
若时，，可得，方程有1个根；
若时，，无解方程没有实根．
故选D．
【点睛】本题考查函数方程的转化思想，以及换元法和导数的运用：求单调性和极值、最值，考查化简运算能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，，满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出满足条件的平面区域，结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可．
【详解】画出，，满足约束条件，的平面区域，如图所示：
而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离，
显然到直线的距离是最小值，
由，得最小值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
14.下图所示的算法流程图中，输出的表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据流程图知当，满足条件，执行循环体，，依此类推，当，不满足条件，退出循环体，从而得到结论．
【详解】，满足条件，执行循环体，
，满足条件，执行循环体，
，满足条件，执行循环体，…
依此类推，满足条件，执行循环体，，
，不满足条件，退出循环体，
输出，故答案为．
【点睛】本题主要考查了循环结构应用问题，此循环是先判断后循环，属于中档题．
15.集合中所有3个元素的子集的元素和为__________．
【答案】
【解析】
分析】
集合A中所有元素被选取了次，可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果.
【详解】集合中所有元素被选取了次，
∴集合中所有3个元素的子集的元素和为
，
故答案为．
【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．
16.若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
假设存在对称的两个点P，Q，利用两点关于直线成轴对称，可以设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数，建立关于的函数关系，求出变量的范围．
【详解】设抛物线上关于直线对称的两相异点为、，
线段PQ的中点为，
设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，
所以方程组有两组不同的实数解，
即得方程①
判别式②．
可得，，
∵，∴⇒…③
由②③可得，故答案为.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求四边形的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）在中由余弦定理得， 再由正弦定理能求出；（2），四边形ABCD的面积，由此能求出结果．
【详解】（1）在平面四边形中，，，，．
中，由余弦定理可得：
，
∵，
∴．
（2）中，，
【点睛】本题考查角的正弦值、四边形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.设数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由数列恒等式，结合等比数列的求和公式，可得所求；（2）求得，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】（1），
当时，
而，符合上式，
所以数列通项公式为
（2），
设，
，
相减可得，
化简可得，
可求和得：
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
19.五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球中最大得分，求：
（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.
【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）
【解析】
【分析】
（1）设事件表示“取出的3个小球上的颜色互不相同”，利用古典概型、排列组合能求出取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）由题意得有可能的取值为：2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布列和数学期望；（3）设事件C
表示“某人抽奖一次，中奖”，则，由此能求出结果.
【详解】（1） “一次取出的3个小球上的颜色互不相同”的事件记为，
则
（2）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，6
；
；
；
；
所以随机变量的概率分布为
2
3
4
5
6
因此的数学期望为
（3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为，则
【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
20.如图，直三棱柱中，且，，分别为，
的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的大小为，求锐二面角的正切值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可得是平行四边形，从而，由已知条件能证明平面，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，不妨设，，求出面的一个法向量为，根据线面角可求出，在中求出，在即可求出结果.
【详解】（1）取中点，连接，则，从而，
连接，则为平行四边形，从而.
∵直三棱柱中，平面，面，∴,
∵，是的中点，∴,
∵，∴面
故平面
（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由条件：不妨设，，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
，可取为一个法向量
，
过作，连，则为二面角的平面角，
在中，，
在中，，，则
【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题.
21.已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求出抛物线的焦点，设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设，，，不妨设，直线的方程为，由直线与圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
则过点且斜率为1的直线方程为，
联立抛物线方程，
消去得：，
设，则，
由抛物线的定义可得，解得，
所以抛物线的方程为
（2）设，，，
不妨设，
化简得：，
圆心到直线的距离为1，
故，
即，不难发现，
上式又可化为，
同理有，
所以可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
由条件：
，
当且仅当时取等号.
∴面积的最小值为8.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：，以及基本不等式的运用，属于中档题.
22.已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.
【答案】（1），理由见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证：
，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.
【详解】（1）函数，，
所以，
又由切线与直线垂直，
可得，即，解得，
此时，
令，即，解得，
令，即，解得，
即有在上单调递增，在单调递减
所以
即
（2）不妨设，
由条件：
，
要证：只需要证：，
也即为，由
只需要证：，
设即证：，
设，则
在上是增函数，故，
即得证，所以.
【点睛】本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.