数学理卷·2018届陕西省黄陵中学高三（重点班）下学期开学考试（2018 10页

高三重点班开学考试数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷 选择题（满分60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知函数，则是在处取得极小值的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知与是共轭虚数，有个命题①；②；③；④，一定正确的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．②③ D． ①②③‎ ‎4.大致的图象是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若，满足约束条件则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知锐角满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.数列中，已知，，且，（且），则此数列为（ ）‎ A．等差数列 B．等比数列 ‎ C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列 ‎9.已知平面向量，，满足，，，，则的最大值为（ ）‎ A．-1 B．‎-2 C. D．‎ ‎10.已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分.‎ ‎13. 设满足．则的最大值是__________．‎ ‎14. 二项式的展开式中常数项是__________．（用数字作答）‎ ‎15. 若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆相切，‎ 则其离心率为__________．‎ ‎16. 已知数列共有26项，且，，，则满足条件的不同数列有__________ 个．‎ 三、解答题：(本大题6个小题，共70分)．‎ ‎17.已知数列的前项和。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和。‎ ‎18如图，正三棱柱的所有棱长均，为棱（不包括端点）上一动点，是的中点． （Ⅰ）若，求的长；‎ ‎（Ⅱ）当在棱（不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．‎ ‎19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：‎ ‎（1）根据以上统计数据完成下面列联表，并回答是否有以上的把握认为 ‎ “桔柚直径与所在基地有关”？‎ ‎（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)：‎ ‎（3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差，乙基地的500个桔柚直径的样本方差，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.‎ 附：， .‎ 若，则.‎ ‎，.‎ ‎20.已知过点的椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）不过坐标原点的直线与椭圆交于两点(异于点，线段的中点为,直线的斜率为1.记直线的斜率分别为.问是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.‎ ‎21.已知函数，函数.‎ ‎（Ⅰ）判断函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若时，对任意，不等式 恒成立，求实数的最小值.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，的解集为空集，求的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎1-5: CDDDC 6-10.ABDDA 11-12.CB ‎13.【答案】 14.【答案】210 15.【答案】或2 16.【答案】2300‎ ‎17.解：（Ⅰ）由题意知，当 ‎…………………6分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知=，∴Tn=．…………………12分 ‎18证明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB， 又平面ABC⊥平面ABB‎1A1，所以CE⊥平面ABB‎1A1 而AD⊂平面ABB‎1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A‎1C所以AD⊥平面A1CE，‎ 所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD=1．…………………5分 ‎（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，‎ 过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，设 BD=t，‎ 则A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，，2）， =（2，0，t），=（1，，2），设平面ADC1的法向量=（x，y，z）， 则，取x=1，得， 平面ABC的法向量=（0，0，1），设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ， ∴cosθ====‎ 由于t∈（0,2）,故cosθ∈（，]．‎ 即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，]．………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）由以上统计数据填写列联表如下：‎ 甲基地 乙基地 合计 优质品 ‎420‎ ‎390‎ ‎810‎ 非优质品 ‎80‎ ‎110‎ ‎190‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异”． ‎ ‎（Ⅱ）甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率为，‎ 所以，甲基地水果的优质品率较高， ‎ 甲基地的500个桔柚直 ‎ ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直径 ‎，‎ 所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于‎86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为.‎ ‎20.解: （Ⅰ）由题意得 ,解得,则椭圆的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)由题意可设直线方程为,令则.‎ 直线的斜率为1,,‎ 即 (1) ‎ ‎ ‎ 则 代入(1)式得,‎ 因此, ‎ 则 ‎,即为定值 ‎21．解：（I），其定义域为 为， .‎ （1） 当时，，函数在上单调递增；‎ （2） 当时，令，解得；令，解得.故函 ‎ 数在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎（II）由题意知.，当时，函数 单调递增，不妨设，又函数单调递减，所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，即对任意，恒成立.‎ 记，则在上单调递减.得对任意，恒成立.‎ 令，，则 在上恒成立.则，而在上单调递增，所以函数在上的最大值为.由，解得.‎ 故实数的最小值为. ‎ ‎22.解：（1）设，，‎ 则由成等比数列，可得， ‎ 即，． ‎ 又满足，即， ‎ ‎∴，‎ 化为直角坐标方程为． ‎ ‎（2）依题意可得，故，即直线倾斜角为， ‎ ‎∴直线的参数方程为 ‎ 代入圆的直角坐标方程，‎ 得， ‎ 故，， ‎ ‎∴．‎ ‎23.解：(1)当时，化为 ， ‎ 当，不等式化为，解得或，‎ 故；‎ 当时，不等式化为，解得或，‎ 故； ‎ 当，不等式化为，解得或 故； ‎ 所以解集为或． ‎ ‎(2) 由题意可知，即为时，恒成立． ‎ 当时，，得； ‎ 当时，，得，‎ 综上，． ‎