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- 2021-04-17 发布
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二下学期期末考试理科数学试题 命题：黄庆珍 蔡振奕
一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，则（ ）
A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3， 2} D．{3，0，1，2}
2.定义运算＝ad－bc，若复数z满足＝－2，则（ ）
A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i
3.在等差数列中，若=4，=2，则=（ ）
A．-1 B. 1 C. 0 D. 6
4.右图是计算值的程序框图，则图中①②处应填的
语句分别是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
5.已知函数与（且）的图象关于直线
对称，则“是增函数”的一个充分不必要条件是( )
6.等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，则( )
A． B． C． D．
7．设实数，满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.将3本相同的小说，2本相同的诗集全分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）
A．24种 B．28种 C．32种 D．36种
9.设， 为的展开式的第一项（
为自然对数的底数），,若任取，则满足的概率是（ ）
（第10题图）
A． B． C． D．
10.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（在轴上方），延长交抛物线的准线于点，若,，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D．
12.已知，函数，若对任意给定的，总存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为 ;
14.已知三棱锥的底面是等腰三角形，，底面，，则这个三棱锥内切球的半径为 ；
15.已知中角满足且,则= ；
16．已知，向量满足，则的最大值为 ．
三．解答题（必做每题12分，选做10分）
17.已知数列满足，，数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18.某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了
高度在[50,60),[90,100]的数据).
1）求样本容量和频率分布直方图中的
2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变
量表示所抽取的3株高度在 [80,90) 内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.
19.已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD,
垂足为H, PH是四棱锥的高,E为AD中点,设
1)证明：PE⊥BC；
2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成
角的正弦值．
20.已知过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于两点，曲线
上的任意一点与两点连线的斜率之积为．
Ⅰ）求曲线的方程；
Ⅱ）过原点作射线，，分别平行于，，交曲线于，两点，
求的取值范围．
21.已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，
使，求实数取值范围.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若点，设圆与直线交于点，．求的最小值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数，设函数．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
答案：BDCA CDAB DBCD
13. 14. 15. 16.
17．解：（Ⅰ）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，
所以 ----------2分
又当时，，所以，
当时，…① …②
由①-②得，即， ----------4分
所以是首项为1，公比为的等比数列，故.----------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 ----------6分
①
②----------8分
①-②得
--------10分
所以 --------12分
18. 解：(1)由题意可知，样本容量
，
. （4分）
(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，
共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，（5分）
则 , ,
. （8分）
1
2
（10分）
3
故. （12分）
19.解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)． -----------------1分
(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，则D(0，m,0)，E(，，0)．
可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)． 因为·＝－＋0＝0，
所以PE⊥BC. ---------------6分
(2)由已知条件可得m＝－，n＝1， ---------------8分
故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，
P(0，0,1)．设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
则即
因此可以取n＝(1，，0)．
由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为. ---------------12分
20. 解法一：（Ⅰ）∵圆过点，，
∴圆心在直线上，……………………………………………………1分
又圆心在直线上，
∴当时，，即圆心为.……………………………………2分
又与的距离为，
∴圆的方程为.………………………………………………3分
令，得. ……………………………………………………………4分
不妨设，，
由题意可得，，
∴,
∴曲线的方程为：()．………………………………6分
（Ⅱ）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.
解得………………………7分
∴．………………………8分
同理，…9分
∴．………………………………10分
设，则，
∴，
又∵，
∴.………………………………………………………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.
解得………………………………………………7分
∴．………………………………………………8分
同理，……………………………9分
∴
……………………………10分
………………………………………………………11分
即．………………………………………………………12分
21.解:(Ⅰ)定义域为（0，+，因为 =，---1分
所以当时，，令得，所以
此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； ---2分
当时，，所以
此时函数在（0，+是减函数； ----------------------------3分
当时，令=得，解得（舍去），
此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； -------------4分
当时，令=得，解得，此时函数
在（1，上是增函数；在（0，1）和+上是减函数；-----------6分
（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意
，
有，---------7分
又已知存在，使，所以，---------8分
，即存在，使，即，---10分
即，所以，---------11分
解得，即实数取值范围是---------12分
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（1）由得，得，即 ---4分
（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得．
由，故可设，是上述方程的两根，
所以，又直线过点，故结合的几何意义得
，所以的最小值为．---10分
23.（1）证明：---4分
（2），
，
，，得： ---10分