- 442.38 KB
- 2021-04-17 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．2或4
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以或．
考点：集合基本运算.
2.已知角的终边经过点且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：三角函数的定义.
3.已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得，则，所以．
考点：1、复合函数；2、导数的几何意义.
4.为得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C.向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
考点：图象的平移.
5.“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：，若函数是在上的单调函数，则，即．
考点：充要条件.
6.的大小关系为（ ）
A． B．
C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由于，因为，所以，又，∴．
考点：实数的大小比较.
7.已知命题：对任意，，命题：存在，使得，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：命题的真假.
8.函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：易判断函数为偶函数，由得，且，故选D．
考点：函数的图象与性质.
9.若函数的图象关于直线对称，且当，
时，，则等于（ ）
A． B． C.
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，∴，又，∴，从而，
∵，，∴，且关于直线对称，∴，从而
．
考点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。首先利用数形结合思想和转化化归思想可得，解得，从而，再次利用数形结合思想和转化化归思想可得关于直线对称，可得，从而．
10.等于（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：原式．
考点：三角恒等变换.
11.设函数，若对任意，都存在，使得，则实数的最大值为（ ）
A． B． C. D．4
【答案】A
考点：函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。首先求出，再利用转化思想将命题条件转化为，进而转化为至少要取遍中的每一个数，再利用数形结合思想建立不等式组：或，从而解得．
12.若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
考点：1、函数与不等式；2、导数的应用.
【方法点晴】本题主要考查函数与不等式、导数的应用，涉及换元思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型，
先利用换元思想和转化化归思想设，将命题转化为，即，再令
，由，得，由数形结合思想和导数工具可得，且，从而或，即或．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.命题“若，则”的否命题为 ．
【答案】若，则
【解析】
试题分析：若，则，否命题要求条件和结论都否定．
考点：否命题.
14.已知集合，，则
的元素个数是 .
【答案】
【解析】
试题分析：在平面直角坐标系中画出圆与抛物线的图形，可知它们有个交点．
考点：集合的基本运算.
15.若，则 .
【答案】
考点：三角恒等变换.
【方法点晴】本题主要考查三角恒等变换，涉及换元思想、方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型. 由，
得，利用换元思想可得，从而解得或，又，从而，因此．
16.设函数对任意实数满足，且当时，，若关于的
方程有3个不同的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
考点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论的思想与转化思想，综合性强，属于较难题型. 首先利用求出是以为周期的函数．再利用周期性作出在上的图象，再利用转化化归思想将问题转化为与的交点问题，根据数形结合思想思想和方程思想，求得正解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
已知函数的定义域为，，函数的值域为．
（1）当时，求；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．
考点：1、函数的定义域；2、函数的值域；3、集合的基本运算.
18.（本小题满分12分）
设，满足．
（1）求的值；
（2）求的值；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由，又
；（2）由（1）可得
．
考点：三角恒等变换.
19.（本小题满分12分）
设：实数满足不等式，：函数无极值点.
（1）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）已知. “”为真命题，并记为，且：，若是的必要不充
分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：先将命题化简为：， ：．（1）易得与只有一个命题是真命题．再讨论
为真命题，为假命题和为真命题，为假命题两种情况；（2）由“”为真命题．又或：或
：．易得是的充分不必要条件．
（2）∵“”为真命题，∴．……………………………………8分
又，
∴，
∴或，……………………………………………………………………10分
即：或，从而：．
∵是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，
∴，解得．…………………………………………………………12分
考点：1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且的最小值是，求实数的值.
【答案】（1）；（2）．
（2）
．…………………………………………………………7分
∵，∴，∴．………………………………8分
①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；…………9分
②当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得
，
解得．……………………………………………………………………………………10分
③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得,
这与相矛盾．……………………………………………………………………………………11分
综上所述：．…………………………………………………………………………………………12分
考点：三角函数的图象与性质.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）证明：当时，函数没有零点（提示：）．
【答案】(1）单调增区间为，单调减区间为，极小值为；（2）证明见解析.
试题解析：(1）因为，
所以．……………………………………………………………………2分
因为，所以当时，，当时，．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．………………………………4分
当时，取得极小值．…………………………………………5分
考点：1、函数的单调性；2、函数的极值；3、函数的零点.
【方法点晴】本题考查函数的极值、函数的零点、导数与函数单调性的关系、恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、转化化归思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意转化化归思思想的应用.
22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴垂直，且有极大值，求实数的取值范围；
（2）若，试判断在上的单调性，并加以证明．（提示：）．
【答案】（1）．（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）求导可得．再对和分情况讨论可得：的取值范围为；（2）当时
．再设，利用导数工具可证得.故在上递增．
（2）当时，，则．
设，则．
设，∵，且在上递增，∴．
不难得知．
∵，∴，∴，
∵恒成立，∴递增．
∴，∴，∴，从而．
故在上递增．………………………………………………………………12分
考点：1、函数的极值；2、函数的单调性.
【方法点晴】本题考查函数的极值、导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、转化化归思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.