福建省龙岩一中2018-2019学年高三（上）期中数学试题（文科）（解析版） 16页

‎2018-2019学年福建省龙岩一中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．‎ ‎【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎2.已知，，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 所以x<1,则，所以 则 ，， ‎ 故选B ‎3.若x，y是正数，且，则xy有　　‎ A. 最小值16 B. 最小值 C. 最大值16 D. 最大值 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由均值不等式可得所以，当且仅当时取等号，故选A.‎ ‎4.设m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是　　‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交；B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或m⊂α；C，m∥n，m∥α⇒n∥α或m⊂α；D，m∥n，m⊥α⇒n⊥α；‎ ‎【详解】对于A，若，时，可能或斜交，故错；‎ 对于B，，或，故错；‎ 对于C，，或，故错；‎ 对于D，，，正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了空间点、线、面的位置关系，熟记线面平行的判定与性质，线面垂直的判定与性质是关键，属于基础题．‎ ‎5.若，，，则a，b，c的大小关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.‎ 解析： ，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 则的大小关系是.‎ 故选：D.‎ 点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．‎ ‎6.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的及其内部，其中 ‎，，‎ 设，将直线l：进行平移，‎ 观察x轴上的截距变化，可得 当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值 ‎，‎ 即的取值范围是 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．‎ ‎7.已知在R上是偶函数，且满足，当时，，则　　‎ A. 8 B. 2 C. D. 50‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的周期性以及函数的解析式，转化求解即可．‎ ‎【详解】在R上是偶函数，且满足，故周期为3‎ 当时，，‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用，利用函数的解析式求解函数值，考查计算能力．‎ ‎8.下列命题错误的是　　‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则”‎ B. 若命题，则：，‎ C. 中，是的充要条件 D. 若向量，满足，则与的夹角为钝角 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A,由逆否命题判断即可；对B,由特称命题的否定判断即可；对C,由三角恒等变换和三角形内角的大小关系判断即可；对D，求出的充要条件，即可判断 ‎【详解】依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若，则”，可知：命题“若，则”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则”可判断出A正确．‎ B.依据命题的否定法则：“命题：，”的否定应是“，”，故B是真命题．‎ C.由于，在中，，，，‎ 又，，，．‎ 据以上可知：在中，故在中，是的充要条件．‎ 因此C正确．‎ D.由向量，，的夹角，‎ 向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角，可以判断出D是错误的．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考题命题的真假判断，熟记四种命题，特称命题的否定，区分向量数量积与夹角的关系是关键，是易错题 ‎9.函数的图象大致为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数是奇函数，利用 ，即可得出结论．‎ ‎【详解】由题意， ，函数是奇函数，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，比较基础．‎ ‎10.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中的正视图和侧视图，分析出俯视图可能出现的情况，可得答案．‎ ‎【详解】若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，‎ 其底面在下方，且为直角三角形，无答案符号要求；‎ 若几何体为四棱锥，由其正视图和侧视图可知，‎ 其底面在下方，且为正方形，对角线应从左上到右下，C满足条件；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，空间想象能力，难度不大，属于基础题．‎ ‎11.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么　　‎ A. 先变小再变大 B. 仅当M为线段EF的中点时，取得最大值 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，由正弦定理得R1，R2，结合DE＝DF，sin∠DME＝sin∠DMF，得λ＝1，由此能求出结果．‎ ‎【详解】设的外接圆半径为，的外接圆半径为，‎ 则由题意，，‎ 点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，‎ 对于M的每一个位置，由正弦定理可得：，，‎ 又，，‎ 可得：，‎ 可得：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形的外接圆、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎12.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】不等式即，‎ 结合可得恒成立，即恒成立，‎ 构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，‎ 故恒成立，即恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增；‎ 则的最小值为，‎ 据此可得实数的取值范围为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.在等差数列中,已知,则 _____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意,所以.或:.‎ ‎【考点定位】考查等差数列的性质和通项公式。‎ ‎14.已知向量，若向量在方向上的投影为3，则实数______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由投影的定义列m的关系式，解出m即可．‎ ‎【详解】根据投影的概念：；．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度，是基础题 ‎15.2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：‎ 爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．‎ 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是______．‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】‎ 分析：利用反推法，逐一排除即可.‎ 详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；‎ 如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；‎ 如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；‎ 如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；‎ 如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；‎ 故答案为：丙 点睛：本题考查推理的应用，解题时要认真审题，注意统筹考虑、全面分析，属于基础题．‎ ‎16.已知矩形ABCD，，，E、F分别是BC、AD上的点，且，现沿EF将平面ABEF折起，使平面平面EFDC，则三棱锥的外接球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知画出图形，找出三棱锥B﹣FEC的外接球的球心，求解三角形得三棱锥B﹣FEC的外接球的半径，代入球的表面积公式求解．‎ ‎【详解】如图，‎ 由已知，，，‎ 可得是边长为2的正三角形，且，‎ 在平面折叠后中，取外心为K，EF中点G，连接GK，则，‎ 连接CG，取的外心为H，过H作平面ECDF，且使，‎ 则O为三棱锥的外接球的球心．‎ 在中，由，，，得，‎ 则，‎ 的外接圆的半径．‎ 则，即，‎ 三棱锥的外接球的半径，‎ 则三棱锥的外接球的表面积为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查几何体的外接球的体积的求法，关键是球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.已知函数 Ⅰ求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；‎ Ⅱ求函数在区间上的值域．‎ ‎【答案】Ⅰ，对称轴方程为：；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）首先根据三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称轴方程．（Ⅱ）直接利用函数的定义域求出函数的值域．‎ ‎【详解】Ⅰ已知函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． ‎ 则函数的最小正周期为：．‎ 令，‎ 解得：，‎ 则函数的对称轴方程为：‎ 由于：，则：，所以：，‎ 故函数的值域为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质对称轴和周期的应用，三角函数关系式的恒等变换，利用函数的定义域求函数的值域，熟记三角函数公式，准确化简是关键，是中档题 ‎18.等差数列的前n项和为，且，，数列满足 Ⅰ求；‎ Ⅱ设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出；（2）利用递推关系与裂项求和即可得出前项和.‎ 试题解析：（1）设等差数列的公差为，由,得,解得,‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得,, ① 所以时,, ②‎ ‎①-②得,又也符合式 ,所以,所以,所以.‎ 考点：1.数列求和；2.等差数列的通项公式.‎ ‎19.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．‎ Ⅰ求角B的大小；‎ Ⅱ点D满足，且线段，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，根据正弦定理可得，化简后利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）在中由余弦定理知：，∴，再由基本不等式即可得结果.‎ 试题解析：（1）∵，由正弦定理得 ‎∴，‎ 即，又∵，∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎（2）在中由余弦定理知：，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为4‎ 故的范围是.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎20.如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（I）证明平面；‎ ‎（II）求四面体的体积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.‎ 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为平面，为的中点，‎ 所以到平面的距离为.‎ 取的中点，连结.由得，.‎ 由得到的距离为，故.‎ 所以四面体的体积.‎ ‎【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积 ‎【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．‎ ‎21.已知函数，a，．‎ 当时，讨论函数的单调性；‎ 当，时，记函数的导函数的两个零点分别是和，求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先确定函数的定义域，再求导，f'（x），然后由f'（x）＞0，得到单调增区间，由f'（x）＜0，得到单调减区间．在解不等式时，需对参数a进行分类讨论；（2）根据条件，可知，是方程2x2﹣bx+1＝0得两个根，故．记g（x）＝2x2﹣bx+1，由于b＞3时，，g（1）＝3﹣b＜0，故，∈（，+∞）．再利用进行化简消元，得f（）﹣f（）．令，构造新的函数，然后利用导数判断函数h（t）在在上单调递减,，故h（t）＞h（），即．‎ ‎【详解】时，函数，．‎ ‎．‎ 时，，则时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．‎ 时，，‎ ‎，，此时函数在上单调递增；‎ 时，，则函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．‎ 时，，则函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．‎ 当，时，，‎ 令，可得：，‎ 可知：函数在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎，时，；‎ ‎．‎ 由，，可得，于是．‎ ‎．‎ ‎．‎ 令．‎ ‎．‎ 函数在上单调递减，‎ ‎,即．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的证明．解题过程中运用了等价转化方法、分类讨论的思想方法，还考查了学生构造函数解决问题的能力和计算能力，属于难题．‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线C：，过点且倾斜角为的直线l与曲线C分别交于M，N两点．‎ 写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；‎ 若，，成等比数列，求a的值．‎ ‎【答案】（1），为参数）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标转化为普通方程求解 （2）把参数表达式代入曲线C得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可．‎ ‎【详解】（1）可变为，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为． ‎ 直线的参数方程为为参数）．‎ 为参数）.‎ ‎（2）将直线的参数表达式代入曲线得 ‎,‎ ‎． ‎ 又， ‎ 由题意知：，，‎ 代入解得．‎ ‎【点睛】本题考查了参数，极坐标方程的运用，转化为普通方程求解，属于基础题．‎ ‎23.设函数．‎ 若的解集为，求实数a的值；‎ 当时，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论a的符号，求出a的值即可；‎ ‎（2）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．‎ ‎【详解】（1）即，， ,‎ 当时，，即，无解,‎ 当时，，令，，解得,‎ 综上：.‎ ‎（2）当时，令 ,‎ 当时，有最小值，即,‎ 存在，使得不等式成立，等价于 ‎，‎ 即，所以.‎ ‎【点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：‎ 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a