2018-2019学年吉林省五地六市联盟高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版） 13页

吉林省五地六市联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 本试卷分选择题、填空题和解答题共22题，共150分，共2页，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡.‎ 第I卷（选择题，共计60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知复数满足（i是虚数单位），则=（ 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数在复平面上对应的点为，则（ 　）‎ A． B． C．对应的向量为 D． 是纯虚数 ‎3.随机变量服从正态分布，若，则（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数是”为事件，则事件中恰有一个发生的概率是（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.用数学归纳法证明：，第二步证明由到时，左边应加（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（ 　）‎ A．54焦 B．40焦 C． 36焦 D．14焦 ‎8.一只袋内装有个白球，个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，则下列概率等于的是（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知随机变量服从二项分布，且,则（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A,B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A,B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设函数fx是定义在‎-∞,0‎的可导函数，其导函数为f'‎x，且有‎2fx+xf'x＞‎x‎2‎，则不等式 x+2019‎‎2‎fx+2019‎-4f‎-2‎<0‎的解集为（ ）‎ A．‎-2020,-2019‎ B．‎‎-2021,-2019‎ C．‎-2019,-2018‎ D．‎‎-2019,-2017‎ ‎12.若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ 　）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题，共计90分）‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是： .(写出一条即可)‎ ‎14.刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 ‎2+‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎2+⋯‎是一个确定值x(数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式‎=x，则‎2+‎1‎x=x，即x‎2‎‎-2x-1=0‎，解得，取正数得x=‎2‎+1‎.用类似的方法可得‎6+‎‎6+‎‎6+⋯‎‎=‎ ‎ .‎ ‎15.已知，‎ 则的值为 .‎ ‎16.设，过点,分别作曲线的切线，其中存在三条直线与曲线相切的点是 .‎ 三、解答题（17，18、19、20、21每题12分，22、23每题10分共70分）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 人站成两排队列，前排人，后排人.‎ ‎(1)一共有多少种站法；‎ ‎(2)现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知非零向量，，且，用分析法证明：‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，‎ 方案一：每满200元减50元；‎ 方案二：每满200元可抽奖一次，具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）‎ 红球个数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 实际付款 半价 ‎7折 ‎8折 原价 （1） 若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；‎ （2） 若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 汽车尾气中含有一氧化碳，碳氢化合物等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气之中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放 检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废，某环境组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了人，所得数据制成如下列联表：‎ （1） 若从这人中任选人，选到了解强制报废标准的人的概率为，问是否在犯错的概率不超过 ‎5﹪的前提下认为“机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？‎ 不了解 了解 总计 女性 ‎50‎ 男性 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 总计 ‎100‎ ‎（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过年，可近似认为排放的尾气中浓度﹪与使用年限线性相关，确定与的回归方程，并预测该型号的汽车使用年排放尾气中的浓度是使用年的多少倍.‎ 附：,‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若只有一个极值点，求的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线的交点分别为,求的最大值及此时直线的倾斜角.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若 ，判断与的大小关系并证明． ‎ 参考答案：‎ ‎1-4 ADCA 5-8 CDAB 9-12 ACBB ‎13. ①②③‎ ‎14．3‎ ‎15．2或3或 ‎16．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎(1)‎ ∵y=‎‎2‎x为增函数，‎∴‎当‎2≤x≤4‎时，‎4≤y≤16‎，即A=‎‎4,16‎. （2分）‎ 当m=4‎时，‎ -x‎2‎+7x-10>0‎，解得‎20‎，得x-2‎x-‎m+1‎‎<0‎ 当m>1‎时，B=‎‎2,m+1‎，则‎∁‎RB=‎-∞,‎‎2‎∪‎m+1,‎‎+∞‎.‎ ‎ ∵A⊆‎∁‎RB‎，‎∴m+1≤4‎，即‎10∴fx‎1‎-fx‎2‎>0‎，即fx‎1‎>fx‎2‎，‎ ‎∴‎函数fx在R上是减函数. （8分）‎ ‎(3)由(1)和(2)知， 不等式ft‎2‎‎-2t+f‎-2t‎2‎+k<0‎恒成立，‎ 即ft‎2‎‎-2t<-f‎-2t‎2‎+k=f‎2t‎2‎-k恒成立，‎ 故t‎2‎‎-2t>2t‎2‎-k对任意的t∈‎‎-2,2‎恒成立，‎ 即k>t‎2‎+2t对任意的t∈‎‎-2,2‎恒成立. （10分）‎ 令ht=t‎2‎+2t=t+1‎‎2‎-1,t∈‎‎-2,2‎ 易知当t=2‎时，ht取得最大值8，‎‎∴k>8.‎ 故实数k的取值范围是‎8,+∞‎‎.‎ （12分）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎(1)设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A，‎ 由已知得PA=b+35‎‎100‎=‎‎3‎‎5‎，解得b=25‎，所以a=25‎，p=40‎，q=60‎. （2分）‎ 假设H‎0‎：机动车强制报废标准是否了解与性别无关. （3分）‎ 由‎2×2‎列联表可知，K‎2‎的观测值k=‎100×‎‎25×35-25×15‎‎2‎‎40×60×50×50‎≈4.167>3.841‎，（5分）‎ ‎∴‎可以在犯错的概率不超过5﹪的前提下认为“机动车强制报废标准是否了解与性别有关”（6分）‎ ‎(2)由折线图中所给数据计算，得t‎=6‎，y‎=0.42‎， （7分）‎ 故b‎=0.07‎，a‎=0‎， （9分）‎ 所以所求回归方程为y‎=0.07t. （10分）‎ 故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度为‎0.84%‎，‎ 因为使用4年排放尾气中的CO浓度为‎0.2%‎，‎ 所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的4.2倍.（12分） ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎（1）‎∵f‎'‎(x)=lnx-ax∴f‎'‎e=-1‎ 解得a=‎‎2‎e， （1分）‎ ‎∴fe=-e‎，故切点为e,-e， （2分）‎ ‎∴‎曲线y=fx在x=e处的切线方程为x+y=0‎. （3分）‎ ‎（2）①令f‎'‎x‎=0‎，得a=‎lnxx. 令gx=‎lnxx，则g‎'‎x‎=‎‎1-‎lnxx‎2‎，‎ 且当‎01‎时，gx>0‎.‎ 令g‎'‎x‎=0‎，得x=e，且当‎00‎；当x>e时，g‎'‎x‎<0‎.‎ 故gx在‎0,e上单调递增，在e,+∞‎上单调递减，‎∴gxmax=ge=‎‎1‎e.‎ ‎∴‎当a≤0‎时，fx有一个极值点；当‎0e，‎ ‎∵gx在e,+∞‎上单调递减，且x‎1‎‎+x‎2‎>x‎2‎>e，‎∴lnx‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎<‎lnx‎2‎x‎2‎，即lnx‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎x‎1‎+‎x‎2‎. （12分）‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎（1）因为曲线的参数方程为，所以曲线的普通方程为x-1‎‎2‎‎+y+1‎‎2‎=2‎，即x‎2‎‎+y‎2‎-2x+2y=0‎， （2分）‎ 所以曲线的极坐标方程为ρ‎2‎‎-2ρcosθ+2ρsinθ=0‎，即ρ=2cosθ-2sinθ.（5分）‎ ‎（2）设直线上的点A,B对应的参数分别为t‎1‎‎,‎t‎2‎，‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得tcosα+1‎‎2‎‎+tsinα+1‎‎2‎=2‎，即t‎2‎‎+2sinα+cosαt=0‎ ‎ 所以t‎1‎‎+t‎2‎=-2‎sinα+cosα，t‎1‎‎⋅t‎2‎=0‎. （7分）‎ 故MA‎2‎‎+MB‎2‎=t‎1‎‎2‎+t‎2‎‎2‎=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎-2t‎1‎⋅t‎2‎=4sinα+cosα‎2‎=4‎‎1+sin2α，（8分）‎ 所以当sin2α=1‎，即α=‎π‎4‎时，MA‎2‎‎+‎MB‎2‎取得最大值，最大值为8，此时直线的倾斜角为π‎4‎. （10分）‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎（1）∵，∴． （1分）‎ ‎① 当时，得，解得，∴; ( 2分)‎ ‎② 当时，得，解得，∴; (3分)‎ ‎③ 当时，得，解得，∴; (4分)‎ 综上所述，实数的取值范围是． ( 5分)‎ ‎（2） ，∵，‎ ‎∴ (10分)‎