高考数列求和解题方法大全 5页

高考数列求和解题方法大全 数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。‎ 一、利用常用求和公式求和 ‎ 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. ‎ 1、 等差数列求和公式： ‎ ‎2、等比数列求和公式：‎ 3、 ‎ 4、‎ 5、 例1． 已知，求的前n项和.‎ 解：由， 由等比数列求和公式得 =＝＝1－‎ 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn ‎ }分别是等差数列和等比数列.‎ 例2． 求和：………………………①‎ 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积 当，‎ 当 设……………② （设制错位）‎ ‎①－②得 （错位相减）‎ 再利用等比数列的求和公式得：‎ ‎∴ ‎ 例3.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令 ‎，求数列的前项和。‎ 解析：‎ ‎①-②得：‎ ‎。‎ 点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列 ‎ 的前项和求解，均可用错位相减法。‎ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.‎ 例4．函数对任意，都有。（1）求和 的值；（2）数列满足：，数列是 等差数列吗？请给与证明。（3），，试比较与的大小。‎ 解：（1）令,可得，‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3），‎ 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.‎ 例5．求数列的前n项和：，…‎ 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎ （分组）‎ 当a＝1时，＝ （分组求和）‎ 当时，＝‎ 例6． 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.‎ 解：设 ‎ ∴ ＝‎ 将其每一项拆开再重新组合得 ‎ Sn＝ （分组）‎ ‎＝ ‎ ‎＝＝‎ 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5）‎ ‎(6)‎ 例7． 求数列的前n项和.‎ 解：设 （裂项）‎ 则 （裂项求和）‎ ‎＝＝‎ 例8． 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.‎ 解： 　 ∵ ∴ ‎ ‎∴ 数列{bn}的前n项和 ‎ ‎＝ ＝ ‎